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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 3

Lektion 5: Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Lerne, wie man quadratische Gleichungen wie (x-1)(x+3) = 0 und Faktorisierung verwendet, um andere Formen von Gleichungen zu lösen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bisher hast du lineare Gleichungen gelöst, die konstante Terme (einfache Zahlen) enthalten und Terme, in denen die Variable in der ersten Potenz angegeben wird,

(x^{1} = x)

Du hast möglicherweise schon quadratische Gleichungen gelöst, welche Variablen in der zweiten Potenz enthalten, indem du die Quadratwurzel von beiden Seiten gezogen hast.

In dieser Lektion lernst du eine neue Art, quadratische Gleichungen zu lösen. Der Fokus wird auf folgendes gelegt,

Wie man in Faktoren zerlegte Gleichungen wie $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ löst, und
Wie man Ausklammerungs-Methoden verwendet, um andere Gleichungen $($ ‍ wie $x^{2} - 3 X - 10 = 0)$ ‍ in eine faktorisierte Form zu bringen und sie zu lösen.

Faktorisierte quadratische Gleichungen lösen

Angenommen, wir werden gefragt die quadratische Gleichung

(x - 1) (X + 3) = 0

zu lösen.

Du fragst dich vielleicht, woher wir wissen, dass diese Gleichung quadratisch ist, da sie keinen Exponenten enthält, der sie zu einer Funktion zweiten Grades auszeichnet.

Der Grund dafür, dass es eine quadratische Gleichung ist, ist der, dass es das Produkt von zwei Ausdrücken hat, welche beide die Variable enthalten. Wenn wir dieses Produkt erweitern, werden wir die quadratischen Gleichung

x ^ 2 + 2-X-3_=_0

erhalten.

Dies ist ein Produkt von zwei Termen, das gleich null ist. Beachte dass jeder

x

-Wert, der entweder

(x - 1)

oder

(X + 3)

0 (null) ergibt, das Produkt zu null macht.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Das Ersetzen von entweder

x = 1

oder

x = 3

in die Gleichung ergibt die wahre Aussage

0 = 0

, so dass sie beide Lösungen der Gleichung sind.

Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.

Löse $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Löse $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Eine Frage zum Nachdenken

Kann die gleiche Lösung-Methode angewendet werden für die Gleichung $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍?

Die Lösungs-Methode, die du gerade gelernt hast gilt nur in Fällen, wo wir ein Produkt haben, das gleich Null ist.

Dies gilt, da wir wissen, dass nur wenn ein Produkt gleich Null ist, einer der Faktoren Nulle sein muss; es kann uns egal sein, was der andere Faktor ist.

Bei einem Produkt, das eine Zahl ungleich Null ist, wie

6

, gibt es keine besonderen Anforderungen für einen der Faktoren. Alles, was wir sagen können ist etwas über die beiden Faktoren zusammen. Zum Beispiel:

Wenn einer der Faktoren $1$ ‍ ist, ist der andere $6$ ‍;
Wenn einer der Faktoren $2$ ‍ ist, ist der andere $3$ ‍; oder
Wenn einer der Faktoren $\frac{1}{2}$ ‍ ist, ist der andere $12$ ‍.

Dies erlaubt uns nicht die quadratische Gleichung in zwei separate lineare Gleichungen zu verwandeln.

Eine Notiz über die Null-Produkt Eigenschaft

Woher wissen wir, dass es keine weitere Lösungen gibt, als die beiden. die wir mit unserer Methode finden?

Die Antwort wird durch eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, namens Null-Produkteigenschaft bereitgestellt:

Wenn das Produkt von zwei Größen gleich Null ist, dann muss zumindest eine dieser gleich Null sein.
Wir wissen bereits, dass das Produkt aus einer beliebigen Zahl und null gleich null ist, aber dieses Prinzip sagt uns, dass wenn das Produkt Null ist, es dann sicher ist dass einer der Faktoren Null ist.
Denke an den Fall, wo beide Faktoren nicht Null sind. In diesem Fall wäre das Produkt auch nicht Null. Beispielsweise gibt es nichts, was du mit $2$ ‍ multiplizieren kannst, um Null zu erhalten, bis auf Null.
Daher muss einer der Faktoren, damit ein Produkt Null ist, Null sein.

Ersetzen von

x

-Werten mit Ausnahme unserer Lösung ergibt ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null, was bedeutet, dass das Produkt sicherlich nicht Null ist. Daher wissen wir, dass unsere Lösungen die einzigen möglichen sind.

Lösen durch Ausklammern

Angenommen, wir möchten die Gleichung

x^{2} - 3 x - 10 = 0

lösen, dann ist alles, was wir tun müssen, das ausklammern von

x^{2} - 3 x - 10

und es zu lösen wie zuvor!

x^{2} - 3 x - 10

kann in Faktoren zerlegt werden als

(x + 2) (x - 5)

Da der führende Koeffizient - hier ist der Koeffizient von

x^{2}

1

, können wir das Summen-Produkt-Muster verwenden.

Der Summen-Produkt-Regel nach ist es so, dass wenn wir zwei Zahlen

a

und

b

finden, sodass

a + b = - 3

und

A \cdot b = - 10

ergibt, dann ist

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Betrachten wir die Paare ganzer Zahlen, deren Produkt

- 10

ist, und beseitigen dann diejenigen, deren Summe nicht

- 3

ist, finden wir heraus, dass die Zahlen, die wir benötigen

a = 2

und

b = - 5

sind.

Aus diesem Grund ist der ausgeklammerte Term $(x + 2) (x - 5)$ ‍.

Die komplette Lösung der Gleichung würde wie folgt gehen:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Teiler. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Nun musst du ein paar Gleichungen auf eigene Faust zu lösen. Denk daran, das die verschiedenen Gleichungen verschiedene Faktorisierungs-Methoden benötigen.

Löse $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Schritt 1. klammere $x^{2} + 5 x$ ‍ als Produkt von zwei linearen Termen aus.

Schritt 2. Löse die Gleichung.

Löse $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Schritt 1. Klammere $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ als Produkt von zwei linearen Termen aus.

Da der führende Koeffizient - hier ist der Koeffizient von

x^{2}

1

, können wir das Summen-Produkt-Muster verwenden.

Der Summen-Produkt-Regel zufolge,ist es so, dass wenn wir zwei Zahlen

a

und

b

finden, dass

a + b = - 11

und

A \cdot b = 28

ist, dann ist

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Betrachten wir die Paare ganzer Zahlen, deren Produkt

28

ist, und beseitigen dann diejenigen, deren Summe nicht

- 11

ist, finden wir heraus, dass die Zahlen, die wir benötigen

a = - 4

und

b = - 7

sind.

Der in Faktoren zerlegte Ausdruck ist deshalb $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Schritt 2. Löse die Gleichung.

Löse $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Schritt 1. klammere $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ als das Produkt von zwei linearen Termen aus.

Schritt 2. Löse die Gleichung.

Wir bereits festgestellt, dass

4 X^{2} + 4 X + 1

als

(2 X + 1)^{2}

in Faktoren zerlegt werden kann. Daher können wir die Gleichung wie folgt lösen.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Faktor. \end{aligned}$ ‍

In diesem Fall haben wir ein Produkt, wo die beiden Faktoren gleich sind:

2 x + 1

. Daher besteht keine Notwendigkeit, zwei Gleichungen zu lösen. Die einzige Möglichkeit für

(2 X + 1)^{2}

um null zu sein ist, wenn

2 x + 1

gleich null ist.

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

Abschließend hat die Gleichung eine Lösung, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Löse $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Schritt 1. Klammere $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ als Produkt von zwei linearen Termen aus.

Da der führende Koeffizient vor dem

x^{2}

von

1

verschieden ist, sollten wir die Methode der Gruppierung benutzen.

Um dies zu erreichen, sollten wir zuerst die zwei Nummern

a

und

b

finden, so dass

a + b = 11

und

a b = (3) (- 4) = 12

Betrachten wir die Paare ganzer Zahlen, deren Produkt

- 12

ist, und beseitigen dann diejenigen, deren Summe nicht

11

ist, finden wir heraus, dass die Zahlen, die wir benötigen

a = 12

und

b = 1

sind. Jetzt schreiben wir

11 x

als

(12 x - x)

und fassen zusammen.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

Daraus folgt, dass $3 X^{2} + 11 x - 4$ ‍ in $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍ zerlegt werden kann.

Schritt 2. Löse die Gleichung.

Die Gleichung vor dem Ausklammern anordnen

Eine der Seiten muss Null sein.

So geht die Lösung der Gleichung

x^{2} + 2 x = 40 - x

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Subtrahiert 40 und addiert x \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Fasse gleichartige Terme zusammen \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Faktor \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Bevor wir ausklammern, formen wir die Gleichung um, so dass alle Terme auf der gleichen Seite sind, und die andere Seite null ist. Erst dann können wir ausklammern und unsere Lösungs-Methode verwenden.

Entfernen gemeinsamer Faktoren

So geht die Lösung der Gleichung

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Dividiert durch 2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Faktor. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Alle Therme hatten zuvor den Faktor

2

gemeinsam, also haben wir beide Seiten durch

2

geteilt - Die Seite mit der Null bleibt Null - wodurch das faktorisieren einfacher wurde.

Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.

Ermittle die Lösungen der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Ermittle die Lösungen der Gleichung.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Ermittle die Lösungen der Gleichung.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

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Faktorisierte quadratische Gleichungen lösen

Eine Frage zum Nachdenken

Eine Notiz über die Null-Produkt Eigenschaft

Lösen durch Ausklammern

Löse x2+5x=0‍ .

Löse x2−11x+28=0‍ .

Löse 4x2+4x+1=0‍ .

Löse 3x2+11x−4=0‍ .

Die Gleichung vor dem Ausklammern anordnen

Eine der Seiten muss Null sein.

Entfernen gemeinsamer Faktoren

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Löse $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Löse $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Löse $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Löse $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.