Einführung in den Satz zur Winkelhalbierenden

Ich möchte dir zuallererst zeigen, was der Winkelhalbierendensatz ist und dann werden wir ihn für uns beweisen. Ich habe hier einfach ein beliebiges Dreieck, Dreieck ABC. Und ich werde eine Winkelhalbierende für diesen Winkel hier oben einzeichnen. Das hätten wir bei jedem der drei Winkel tun können aber ich mache das nur bei diesem. Ich mache uns den Beweis etwas leichter. Also halbiere ich nur diesen Winkel, Winkel ABC. Nehmen wir an, dass das die Winkelhalbierende des Winkels ABC ist und somit dieser Winkel hier drüben diesem Winkel hier gleicht. Nennen wir diesen Punkt hier unten Punkt D. Und der Winkelhalbierendensatz sagt uns, dass das Verhältnis zwischen den Seiten, die nicht Halbierende sind-- also wenn ich diese Winkelhalbierende hier hinzeichne, erzeugt das zwei kleinere Dreiecke aus diesem größeren. Der Winkelhalbierendensatz sagt uns, dass die Verhältnisse der anderen Seiten dieser zwei Dreiecke, die wir gerade erzeugt haben, zueinander gleich sein werden. Er sagt uns, dass das Verhältnis von AB zu AD gleich dem Verhältnis von BC zu CD sein wird. gleich dem Verhältnis von BC zu CD sein wird. Also das Verhältnis von -- ich markiere das farbig. Das Verhältnis von AB zu AD, was diesem Abschnitten entspricht, ist gleich dem Verhältnis von BC, was diesem Abschnitt entspricht, zu CD also diesem Abschnitt hier. Wenn wir das Verhältnis dieser Seiten zueinander haben wird es also für die anderen Seiten gleich sein. Das ist also eine tolle Sache, aber wir können das nicht einfach so glauben, nur weil es cool klingt, Wir müssen uns das erst noch beweisen. Also kannst du dir hier drüben ein paar Quotienten vorstellen. Also kannst du dir hier drüben ein paar Quotienten vorstellen. Und wir werden den Satz mithilfe ähnlicher Dreiecke beweisen. Und unglücklicherweise sind diese zwei Dreiecke nicht zwingend ähnlich. Wir wissen, dass diese beiden Dreiecke kongruent zueinander sind, aber wir wissen nicht, ob dieser Winkel diesem oder diesem Winkel gleicht. Wir wissen es nicht, Wir können so eine Aussage nicht treffen. Das heißt, um diese Aussage tatsächlich zu stützen, müssen wir vielleicht ein weiteres Dreieck konstruieren, das einem dieser Dreiecke hier ähnlich ist. Und eine Möglichkeit, das zu tun, wäre noch eine Gerade zu ziehen. Und dieser Beweis war für mich nicht offensichtlich, als ich das erste mal darüber nachgedacht habe, also keine Sorge, wenn er für dich auch nicht vollkommen offensichtlich ist. Was passiert, wenn wir diese Halbierende fortführen -- diese Winkelhalbierende hier drüben, also ziehen wir sie mal weiter. Und sie geht weiter und weiter und weiter. Vielleicht können wir ein diesem Dreieck ähnliches Dreieck konstruieren, wenn wir eine parallele Gerade zu AB nach hier unten ziehen. Also lass uns das versuchen. Also sage ich wenn C nicht auf AB liegt, kannst du immer einen Punkt oder eine Gerade finden, die durch C geht und parallel zu AB ist. Also ziehen wir hier noch eine Gerade. Also ziehen wir hier noch eine Gerade. Und wir nennen den Punkt hier drüben F und wir machen die Gerade so, dass FC parallel zu AB ist. Also das ist parallel zu dem hier. Also das ist parallel zu dem hier. Und so haben wir ein Dreieck konstruiert. Und jetzt wird es interessant. Wir haben das jetzt so gemacht, dass diese beiden Dreiecke einander ähnlich sind. Mal sehen was daraus folgt. Mal sehen was daraus folgt. Bevor wir überhaupt über Ähnlichkeit nachdenken, lass uns sehen, was wir über ein paar dieser Winkel hier wissen. Wir wissen, dass wir Wechselwinkel haben, denk nur über diese beiden parallelen Geraden nach. Ich könnte mir vorstellen AB geht gerade so weiter FC geht so weiter. Und Linie BD hier ist eine Transversale. Das heißt, wie groß auch immer dieser Winkel ist, dieser Winkel ist genauso groß, da es Wechselwinkel sind, über die wir sehr viel gesprochen haben, als wir das erste Mal über Winkel mit Transversalen und all das Ganze gesprochen haben. Also sind diese beiden Winkel gleich. Aber dieser Winkel und dieser Winkel sind ebenfalls gleich, da dieser Winkel und dieser Winkel gleich sind. da dieser Winkel und dieser Winkel gleich sind. Das ist eine Halbierende. Weil das eine Halbierende ist, wissen wir, dass Winkel ABD gleich gross ist wie Winkel DBC. Also, wie gross auch immer dieser Winkel ist, dieser ist genauso gross. Und dieser auch. Und das gibt uns ein interessantes Ergebnis, weil wir hier eine Situation haben, in der -- wenn du dieses größere Dreieck BFC anschaust -- in der wir zwei Basiswinkel haben, die gleich sind, was heißt, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Also muss BC das Gleiche wie FC sein. Also muss BC das Gleiche wie FC sein. Das war irgendwie cool. Wir haben einfach die Transversale und die Wechselwinkel benutzt, um zu zeigen, dass das gleichschenklig ist und das BC und FC identisch sind. Und das ist nützlich, weil wir vermuten, dass dieses Dreieck und dieses Dreieck ähnlich sein könnten. Wir haben es noch nicht bewiesen. Wie hilft uns das, etwas über BC hier herauszufinden? Aber wir haben gerade gezeigt, dass BC und FC identisch sind. Also ist das hier identisch. Wenn wir das beweisen wollen, wenn wir beweisen können, dass das Verhältnis von AB zu AD identisch ist mit dem Verhältnis von FC zu CD, können wir das nur, weil wir gezeigt haben, dass BC gleich FC ist. Aber damit fangen wir noch nicht an. Wir wollen den Satz herleiten. Also FC ist parallel zu AB, was dieses gleichschenklige Dreieck bildet, also sind diese Seiten kongruent. So, nun schauen wir ein paar der anderen Winkel hier an und fühlen uns gut dabei. Nun, wir haben das hier. Wenn wir das Dreieck ABD anschauen, also das Dreieck hier drüben, und Dreieck FDC, dann haben wir bereits herausgefunden, dass sie einen Satz Winkel haben, die gleich sind. Und dann, haben sie beide -- ABD hat diesen Winkel hier drüben, der ein Wechselwinkel mit dem hier drüben ist, das heißt, diese sind kongruent. Und wir wissen, dass wenn zwei Dreiecke zwei Winkel haben, die identisch sind, wird der Dritte ebenfalls identisch sein. Oder man könnte sagen durch durch Winkel-Winkel-Ähnlichkeitspostulat sind diese beiden Dreiecke ähnlich. Und das schreiben wir so auf. Du musst sichergehen, die entsprechenden Seiten richtig hinzubekommen. Wir wissen nun durch das Winkel-Winkel -- und ich fange an beim grünen Winkel -- Dreieck B- - und dann der blaue Winkel-- BDA ist ähnlich dem Dreieck -- also nochmal, wir fangen an mit dem grünen Winkel, F. Dann gehts zum blauen Winkel FDC. wir fangen an mit dem grünen Winkel, F. Dann gehts zum blauen Winkel FDC. Und hier wollen wir schliesslich zum Winkelhalbierendensatz kommen, also wollen wir uns das Verhältnis zwischen AB und AD ansehen. Ähnliche Dreiecke, entweder könntest du das Verhältnis zwischen entsprechenden Seiten finden, das in ähnlichen Dreiecken immer gleich ist, oder du könntest das Verhältnis zwischen zwei Seiten eines ähnlichen Dreiecks finden und sie mit dem Verhältnis der anderen zwei entsprechenden Seiten des anderen ähnlichen Dreiecks vergleichen und sie sollten gleich sein. Bei ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis von AB -- und das, nebenbei, war bei Winkel-Winkel-Ähnlichkeit. Lass uns das aufschreiben. Also da wir jetzt wissen, das sie ähnlich sind, wissen wir, dass das Verhältnis von AB zu AD gleich -- und wir können sogar nach den entsprechenden Seiten schauen. Das Verhältnis von AB, die entsprechende Seite dazu ist CF -- ist gleich CF über AD. AD ist das Gleiche wie CD -- über CD. Und so wissen wir, das Verhältnis von AB zu AD ist gleich CF zu CD. Aber wir haben gerade bewiesen, weil das ein gleichschenkliges Dreieck ist, das CF das Gleiche wie BC ist. hier drüben. Und damit sind wir fertig. Wir haben gerade bewiesen, dass AB über AB gleich BC über CD ist. Also gibt es zwei Dinge die wir tun mussten. Erstens, wir mussten hier dieses andere Dreieck konstruieren, dass, --angenommen das ist parallel-- dass uns zwei Dinge gab. Es hat uns noch einen Winkel gegeben um zu zeigen, dass sie ähnlich sind und hat uns ermöglicht-- [...] [...] [...] Also, mit der Konstruktion dieses Dreiecks waren wir in der Lage einserseits zu zeigen, dass es ähnlich ist und andererseits um zu zeigen, dass das Verhältnis von dieser Seite zu dieser Seite das Gleiche ist, wie das Verhältnis von dieser Seite zu dieser Seite ist. Das ist das Gleiche wie zu zeigen, dass das Verhältnis dieser Seite zu dieser Seite das Gleiche wie BC zu CD ist. Verhältnis dieser Seite zu dieser Seite das Gleiche wie BC zu CD ist. Und damit sind wir fertig.