Äquivalente Formen von Exponentialausdrücken

In diesem Video möchte ich mit einem Exponentialausdruck beginnen, der in einer relativ einfachen Form dargestellt ist, und ihn in eine komplizierte Form bringen. Fangen wir an. Ich zeige dir den ursprünglichen Ausdruck, und dann die Form, in die ich ihn bringen will. Danach reden wir darüber, warum wir das überhaupt machen. Mein Ausdruck lautet 1/32 ⋅ 2^t. Es ist ein relativ einfacher Exponentialausdruck. Wir wollen ihn jetzt in die Form (A ⋅ B)^((t/10) - 1) bringen. Du fragst dich wahrscheinlich, warum du jemals eine einfache Form in eine so komplizierte Form umschreiben solltest. Die Antwort ist, dass, wenn du höhere Mathematik, Physik und Chemie belegst, und vielleicht so ein Ergebnis bekommst, und es in deinem Lehrbuch in so einer Form siehst, du einfach wissen solltest, wie man die eine Form in die andere verwandelt. Manchmal, wenn du in eine solche Form oder sogar eine noch kompliziertere umformst, erhältst du dadurch ein Gespür für den Prozess, den der Ausdruck zu beschreiben versucht. Wir versuchen das jetzt. Du wirst zumindest besser darin werden, Exponenteneigenschaften anzuwenden. Versuche, diese Form in die rechte umzuwandeln. Ich nehme mal an, du hast es versucht. Jetzt machen wir es gemeinsam. Was sollte ich als erstes machen? Als erstes nehme ich dieses t und wandle es in ein t/10. Um das zu tun, müssen wir nur mit 10 multiplizieren und durch 10 dividieren. Wir multiplizieren also mit 10, und dividieren dann durch 10. Dadurch haben wir den Wert hier oben nicht verändert. Wir können also in 1/32 ⋅ 2^(t/10) ⋅ 10 umformen. Okay. Wir haben hier also ein t/10. Aber dann multipliziere ich hier mit 10. Was mache ich damit? Ich schreibe es nochmal andersherum. Ich schreibe es als ^10 ⋅ t/10. Ich hoffe, du verstehst, was ich gemacht habe. Ich habe nur mit 10 multipliziert und durch 10 dividiert. Aber wenn ich es so schreibe, fällt dir vielleicht eine Exponenteneigenschaft auf. Wenn ich (a^b)^c habe, ist das dasselbe wie a^(bc). Oder andersherum: a^(bc) ist dasselbe wie (a^b)^c. Diesen Teil hier kann ich also als (2^10)^(t/10) schreiben. Nochmal: (2^10)^(t/10) ist dasselbe wie 2^(10 ⋅ (t/10)). Hier drüben haben wir natürlich noch 1/32 stehen. Ich könnte den Bruch als 2^(-5) schreiben, aber das mache ich jetzt noch nicht. Was ergibt 2^10? Es ergibt 1024. Wir haben also 1/32 ⋅ 1024^(t/10) Wir sind schon nahe dran. Wenn wir hier keine -1 hätten, wären wir fast fertig. Aber wir haben dort eine -1. Was machen wir damit? Wir können eine ähnliche Strategie anwenden. Wir könnten 1 subtrahieren und dann 1 addieren. Dadurch ändern wir den Wert nicht. Genauso wie wir mit 10 multipliziert und durch 10 dividiert haben, ändern wir nichts an dem Wert hier oben. Wenn du 1 vom Exponenten subtrahierst und dann 1 addierst, änderst du seinen Wert nicht. Was ergibt das also? Wir wollen, dass -1 hier stehen bleibt, aber wir wollen +1 irgendwie loswerden. Wir müssen uns daran erinnern, dass, wenn wir a^b ⋅ a^c haben, das dasselbe ist wie a^(b + c). Wenn du dieselbe Basis mit verschiedenen Exponenten hast, und sie multiplizierst, kannst du die Exponenten einfach addieren. Und umgekehrt: Wenn du a^(b + c) hast, kannst du es in a^b ⋅ a^c umwandeln. Dieser Teil hier ist also 1024^(((t/10) - 1) + 1). Wir haben also zuerst 1024^((t/10) - 1). Und dann multiplizieren wir 1024^1. Das ist diese 1 hier. Und natürlich haben wir immer noch 1/32. Wir sind fast fertig. Wir haben 1024^((t/10) - 1) Und jetzt müssen wir vereinfachen. 1024^1 ist einfach nur 1024. Im Nenner haben wir dann 32. Dann multiplizieren wir 1024^((t/10) - 1). Jetzt vereinfachen wir das hier. Du erkennst vielleicht, dass 1024 dasselbe wie 2^10 ist. 32 ist dasselbe wie 2^5. Also dividieren wir 2^10 durch 2^5. Das ist eine weitere Exponenteneigenschaft, du kannst aber auch einfach die Zahlen dividieren. Wenn du (a^b)/(a^c) hast, ist es dasselbe wie a^(b - c). Das ergibt also 2^(10 - 5) Dieser ganze Bruch hier ergibt also 2^5 bzw. 32. Wir haben also 32 ⋅ 1024^((t/10) - 1). Normalerweise wollen wir Dinge vereinfachen, was natürlich eine gute Idee ist. Aber in diesem Fall haben wir den Ausdruck komplizierter gemacht. Wir haben mit 1/32 ⋅ 2^t angefangen, und in diesen Ausdruck mit einem komplizierten Exponenten verwandelt. Aber es ist eine nützliche Fähigkeit, weil du vielleicht auf so ein Ergebnis kommst, und jemand anderes bekommt vielleicht so ein Ergebnis, und es ist sehr wichtig zu erkennen, dass es sich um das gleiche Ergebnis handelt, und es nur zwei verschiedene Formen sind, die denselben Exponentenausdruck beschreiben.