Polynome dividieren: schriftliche Division

Dividiere (x² - 3x + 2) durch (x - 2). Wir teilen also das hier durch das. Und wir können das so machen, wie du schriftliche Division gelernt hast. Wir wollen herausfinden, wie oft x - 2 in x² - 3 + 2 passt. Wir hätten es auch so schreiben können, dass dieser ganze Ausdruck (x² - 3x + 2) in einem Bruch über (x - 2) steht. Das sind alles gleichwertige Ausdrucksweisen. Um diese Art der schriftlichen Division durchzuführen, wir nennen sie algebraische schriftliche Division, schauen wir uns den Term mit dem höchsten Exponenten in (x - 2), und den Term mit dem höchsten Exponenten in (x² - 3x +2) an. Hier ist es x und da ist es x². Wie oft passt x in x²? Oder, was ergibt x² dividiert durch x? Es ergibt einfach x. x passt also x-mal in x². Ich schreibe es hier oben hin, über all die Terme mit x. Und dann multiplizieren wir x ⋅ (x - 2). x ⋅ x = x². x ⋅ (-2) = -2x. Und so wie du es bei der schriftlichen Division gelernt hast, subtrahierst du das voneinander. Aber es ist genau dasselbe, wie die Gegenzahl zu addieren, oder jeden dieser Terme mit -1 zu multiplizieren und dann zu addieren. Multiplizieren wir das also mit -1. -2x ⋅ (-1) = 2x. Und jetzt addieren wir. x² - x² kürzt sich weg. -3x + 2x = -x. Dann können wir diese 2 herunterholen. Es bleibt -x + 2 übrig, wenn wir nur durch x dividieren. Passt x - 2 in -x + 2? Nun ja, x passt in -x genau -1-mal. Ich zeige es dir. -x dividiert durch x ist -1. Es kürzt sich weg. -1 ⋅ (x - 2). Du rechnest -1 ⋅ x, das ergibt -x. -1 ⋅ (-2) = 2. Und wir wollen das voneinander subtrahieren, genauso wie wir es in der schriftlichen Division machen. Aber es ist dasselbe, wie wenn wir die Gegenzahl addieren, oder jeden dieser Terme mit -1 multiplizieren und dann addieren. -x ⋅ (-1) = x. 2 ⋅ (-1) = -2. Das kürzt sich weg, es ergibt 0. Das ergibt ebenfalls 0. Wir haben keinen Rest. Wir haben als Ergebnis x - 1. Und wir können es überprüfen. Wenn wir x - 1 mit x - 2 multiplizieren, sollten wir das erhalten. Also machen wir das. Wir multiplizieren x - 1 mit x - 2. Wir multiplizieren zuerst -2 ⋅ (-1). Das ergibt 2. -2 ⋅ x = -2x. x ⋅ (-1) = -x. x ⋅ x = x². Und dann addieren wir alle gleichen Terme. x² bleibt gleich, -2x - x = -3x, und die 2 verändert sich nicht. Und wir haben wieder das Polynom erhalten.