Beispielaufgabe: Definitionsbereich und Wertebereich von partiellen, linearen Funktionen

Gegeben ist eine lineare Funktion, die stückweise, über verschiedene Intervalle von x, definiert ist. g von x ist eine Gerade, deren Verlauf sich ändert, je nachdem in welchem Intervall wir uns befinden. Lass uns über den Definitionsbereich nachdenken, und dann über den Wertebereich. Der Definitionsbereich ist die Menge aller Eingaben, für die die Funktion definiert ist. Unsere Eingabevariable ist x. Wir bestimmen nun die Menge aller x-Werte, über die die Funktion definiert ist. Wir sehen hier: Für alles, was kleiner als minus 6 ist, ist die Funktion nicht definiert. Für x gleich minus 6 oder kleiner Für x gleich minus 6 oder kleiner gibt es keine Definition. Das bedeutet: Wenn x in den Bereich dieser drei Bedingungen fällt, gilt das hier. Und wenn x nicht unter eine dieser Bedingungen fällt, dann ist die Funktion g nicht definiert. x muss größer sein als minus 6. Hier ist der untere Wert, der Minimalwert, unseres Definitionsbereiches definiert. Damit können wir sagen, minus 6 ist kleiner als x. Alle reellen Zahlen -- Ich schreibe das anders-- x ist eine Teilmenge aller reellen Zahlen, so dass minus 6 kleiner ist als x. Minus 6 ist kleiner als x. Nun betrachten wir die obere Grenze. Wir müssen alle Lücken schließen, zwischen x größer minus 6 und x kleiner gleich 6. Wenn wir minus 3 einbeziehen, sind wir in diesem Abschnitt. Wenn wir minus 3 passieren, kommen wir in diesen Abschnitt bis 4. Ab 4 kommen wir in diesen Abschnitt, bis einschließlich 6. x am oberen Ende muss kleiner gleich 6 sein. Kleiner gleich 6. Weniger mathematisch ausgedrückt, könntest du auch sagen, x kann jede reelle Zahl, x kann jede reelle Zahl, zwischen minus 6 zwischen minus 6 und größer gleich 6 sein. Diese beiden Aussagen sind äquivalent. Nun schauen wir uns den Wertebereich der Funktion an. Der Wertebereich ist die Menge aller Ergebnisse oder Werte, die diese Funktion haben kann. x kann jeden Wert in diesem Intervall annehmen. x kann jeden Wert in diesem Intervall annehmen. Was sind dann die Werte, die g von x haben kann? In welchem Intervall kann g von x liegen? In welchem Intervall kann g von x liegen? In welchem Intervall kann g von x liegen? Hier könnte auch ein Gleichheitszeichen stehen, aber darum kümmere ich mich gleich. Wie erhalten wir hier den Minimalwert? Das hier wird kleiner, je kleiner x wird. Wenn x so klein wie möglich wird, nähert sich x minus 6 an. x kann nicht gleich minus 6 werden, aber wenn x gleich minus 6 wäre, dann stünde hier minus 6 plus 7, das wäre dann 1. Also wenn x größer ist als minus 6, dann muss g von x größer sein als 1, oder anders gesagt, wenn minus 6 kleiner ist als x, dann ist 1 kleiner als g von x. Nochmal: Wenn ich minus 6 einsetzen würde, wären minus 6 plus 7 gleich 1. Wann erhalten wir den Maximalwert? Der größte Wert in diesem Intervall, den wir erreichen können, ist x gleich minus 3. Minus 3 plus 7 ist gleich 4. Und dieser Wert kann tatsächlich erreicht werden, da hier 'gleich' steht. x kann minus 3 sein. In diesem Fall ist g von x gleich 4. Das machen wir jetzt für alle Bedingungen. 1 minus x. Das Ergebnis wird hier umso kleiner, je größer x wird. Der größte Wert, dem sich x nähern kann, --nicht den er annehmen kann, sondern dem er sich nähern kann-- Nehmen wir an, x wäre 4, obwohl 4 nicht eingeschlossen ist, dann wäre 1 minus 4 gleich minus 3. Also, solange x kleiner ist als 4, dann ist minus 3 kleiner als g von x. Das ist vielleicht ein wenig verwirrend. Denn das hier wird umso kleiner Denn das hier wird umso kleiner je größer x wird. Weil wir das hier subtrahieren. Also wenn du das obere Ende nimmst, auch wenn 4 nicht inkludiert ist, können wir sagen, 1 minus 4 ist minus 3. Damit muss g von x immer größer als minus 3 sein. Was passiert wenn sich x minus 3 annähert? 1 minus, minus 3 ist 4. 1 minus, minus 3 ist 4. Damit erhalten wir hier 4. Und beide Ergebnisse sind kleiner. Nicht kleiner gleich. Und beide Ergebnisse sind kleiner. Nicht kleiner gleich. Nun die letzte Bedingung. 2x minus 11 wird den höchsten Wert erreichen, wenn x so groß wie möglich ist. Das Maximalwert erhalten wir, wenn x gleich 6 ist. 2 mal 6 ist 12, 12 minus 11 ist 1. Also der Maximalwert ist 1. Dieser kann auch tatsächlich erreicht werden, da x gleich 6 werden kann. Der Minimalwert wird erreicht, wenn x gleich 4 ist. x kann gleich 4 sein, denn hier steht ein kleiner gleich Zeichen. Also, 2 mal 4 ist 8, 8 minus 11 ist minus 3. Der Minimalwert ist gleich minus 3. Jetzt haben wir alle Werte, die g von x einnehmen kann. Es gibt viele Möglichkeiten jetzt den Wertebereich aufzuschreiben. Wir könnten schreiben: g von x ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, so dass-- Was ist der kleinste Wert, den g von x annehmen kann? Das ist minus 3. x kann gleich minus 3 sein. Hier kann x nur größer als minus 3 sein, aber hier steht größer gleich minus 3. Minus 3 kann kleiner gleich g von x sein und was ist der größte Wert, der erreicht werden kann? Hier geht die Definition bis 1. Aber hier sind auch Werte größer 1 definiert, bis einschließlich 4. bis einschließlich 4. Also bis einschließlich 4. Somit kann g von x jede reelle Zahl sein, so dass minus drei kleiner als g von x und kleiner gleich 4 ist. Die Menge der Werte, die g von x annehmen kann, sind alle Werte zwischen minus 3 und plus 4. sind alle Werte zwischen minus 3 und plus 4.