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Kurs: Algebra (alle Inhalte) > Lerneinheit 7

Lektion 22: Feststellen, ob eine Funktion invertierbar ist (Algebra 2, engl.)

Einführung in umkehrbare Funktionen

Nicht alle Funktionen haben Umkehrfunktionen. Diejenigen, die Umkehrfunktion besitzen, heißt ,,umkehrbar''. Wir werden nun lernen, wie wir feststellen können, ob eine Funktion umkehrbar oder nicht ist.

Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander,, umkehren''. Zum Beispiel, wenn

f

a

auf

b

abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion

f^{- 1}

b

auf

a

ab.

Haben alle Funktionen eine Umkehrfunktion?

Betrachten wir die endliche Funktion

h

, die durch die folgende Tabelle definiert ist.

$x$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$h (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍

Wir können ein Zuordnungdiagram für Funktion

h

erstellen.

Nun kehren wir die Zuordnung um, um die Umkehrfunktion

h^{- 1}

zu bestimmen.

Beachte hier, dass

h^{- 1}

das Argument

2

zwei verschiedenen Funktionswerten zuordnet:

1

und

3

. Das bedeutet, dass

h^{- 1}

keine Funktion ist.

Da die Umkehrung von

h

keine Funktion ist, sagen wir, dass

h

nicht umkehrbar ist.

Im Allgemeinen ist eine Funktion nur dann umkehrbar, wenn jedes Argument einen einzigartigen Funktionswert hat. Das heißt, jedes Argument hat genau einen Funktionswert. Wenn also die Zuordnung umkehrt ist, ist das Ergebnis wieder eine Funktion!

Hier ist ein Beispiel einer umkehrbaren Funktion

g

. Beachte, dass die Umkehrfunktion tatsächlich eine Funktion ist.

Überprüfe dein Verständnis

f

ist eine endliche Funktion, die durch diese Tabelle definiert ist.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍	$6$ ‍

Ist $f$ ‍ eine umkehrbare Function?

g

ist eine endliche Funktion, die durch diese Tabelle definiert ist.

$x$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍	$8$ ‍	$10$ ‍	$19$ ‍
$g (x)$ ‍	$- 2$ ‍	$- 3$ ‍	$- 2$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

Ist $g$ ‍ eine umkehrbare Funktion?

Challenge Aufgabe

3*) Ist $f (x) = x^{2}$ ‍ eine umkehrbare Funktion?

Wir können eine partielle Tabelle mit Werten für die Funktion

f (x) = x^{2}

erstellen.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍

Aus der Tabelle sehen wir, dass

f (- 2) = 4

und

f (2) = 4

sind. Dieszeigt, dass

- 2

kein einmaliger Funktionwert ist, deshalb ist die Funktion

f

nicht umkehrbar.

(Hinweis: Du kannst ein ähnliches Argument auch mit anderen Funktionwerten machen!)

Umkehrbare Funktionen und ihre Graphen

Betrachten wir den Graphen der Funktion

y = x^{2}

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedes Argument einen eineindeutigen Funktionwert hat. In anderen Worten, jeder Funktionwert ist mit genau einem Argument verbunden.

Aber dies ist nicht der Fall für

y = x^{2}

Nimm zum Beispiel den Funktionswert

4

. Beachte, dass wenn du die Gerade

y = 4

zeichnet, kannst du sehen, dass es zwei Argumente

2

und

- 2

gibt, die mit dem Funktionswert

4

verbunden sind.

Tatsächlich: wenn man die horizontale Gerade nach oben oder unten verschiebt, sieht man, dass die meisten Funktionswerte mit zwei Argumenten verbunden sind! Deshalb ist die Funktion

y = x^{2}

eine nicht umkehrbare Funktion.

Dagegen betrachten wir nun die Funktion

y = x^{3}

Wenn wir eine horizontale Gerade im Graph nach oben oder unten verschieben, schneidet sie die Funktion in einem einzigen Punkt!

Das bedeutet, dass jeder Funktionswert genau einem einzigen Argument entspricht. In anderen Worten jedes Argumente hat eine eineindeutigen Funktionswert. Die Funktion

y = x^{3}

ist umkehrbar.

Der Argumentation oben beschreibt, was der horizontale Geraden-Test ist: Im Allgemeinen ist eine Funktion

f

umkehrbar, wenn sie den horizontale Geraden-Test besteht.

Erinnern wir uns, dass eine Funktion und ihre Umkehrung die Spiegelung über der Gerade

y = x

ist.

Sieh dir an, was passiert, wenn sich

y = x^{2}

in der Geraden

y = x

spiegelt.

Die Beziehung ist keine Funktion, da die Umkehrung den vertikalen Geraden-Test nicht besteht!

Im Allgemeinen, wenn eine horizontale Gerade den Graph einer Funktion in mehr als einem Punkt schneidet, wird eine vertikale Gerade die Spiegelung das Graphen mit

y = x

in mehr als einem Punkt schneiden. Das bedeutet, dass die Umkehr keine Funktion sein wird.

Anders als zuvor, besteht die Spiegelung von

y = x^{3}

den Test mit der vertikalen Geraden, weshalb

y = x^{3}

umkehrbar ist.

Überprüfe dein Verständnis

4) Ist $g$ ‍ umkehrbar?

Um zu bestimmen, ob eine Funktion umkehrbar ist, müssen wir entscheiden, ob jedes Argument einen eineindeutigen Funktionswert hat. Um dies zu tun, können wir uns vorstellen, eine horizontale Gerade durch den Graph der Funktion vorläuft.

Insbesondere stellen wir uns eine horizontale Gerade bei

y = 2

vor.

Beachte, dass die Gerade

y = 2

den Graph von

y = g (x)

in drei Punkten schneidet. Das bedeutet, dass es drei Argumente gibt, deren Funktionswert

2

ist. Also hat nicht jedes Argument einen einzigartigen Funktionswert und die Funktion ist deshalb nicht umkehrbar.

Oder wir können sagen, dass bei der Funktion

y = g (x)

der horizontale-Geraden-Test fehlschlägt und sie deshalb nicht umkehrbar ist.

5) Is $h$ ‍ umkehrbar?

Wenn wir eine horizontale Gerade im Graph nach oben oder unten verschieben, schneidet sie die Funktion in einem einzigen Punkt!Das bedeutet, dass für jedes Argument der Funktionwert einzigartig istund deshalb die Funktion umkehrbar ist.

Oder wir können sagen, dass bei der Funktion

y = g (x)

der horizontale-Geraden-Test erfolgreich ist und sie deshalb umkehrbar ist.

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