Zeitintervalle in Exponentialmodellen bestimmen

Nachdem eine spezielle Medizin in eine Petrischale voller Bakterien gegeben wurde, nimmt die Anzahl der Bakterien in der Schale rapide ab. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Sekunden, und der Anzahl der Bakterien N(t) in der Petrischale, wird von der folgenden Funktion dargestellt. Vervollständige den folgenden Satz über die Halbwertszeit der Bakterienkultur: "Die Anzahl der Bakterien halbiert sich alle ___ Sekunden." t ist also in Sekunden angegeben. Denken wir etwas darüber nach. Ich zeichne eine kleine Wertetabelle. Wir haben t und N(t). Ich fange mit t = 0 am Anfang an. Wenn t = 0 ist, dann rechnen wir hier (1/2)^(0/5,5), dann haben wir (1/2)^0, was 1 ergibt, also haben wir 1000 Bakterien in der Petrischale. An welchem Punkt multiplizieren wir mit 1/2? An welchem Punkt multiplizieren wir 1000 mit 1/2? Um 1000 mit 1/2 zu multiplizieren, muss dieser Exponent hier 1 sein, wann ist dieser Exponent hier also 1? Der ganze Exponent wird 1, wenn t = 5,5 Sekunden ist. Also bei t = 5,5 Sekunden. Wenn wir nochmal 5,5 Sekunden warten, also 11 Sekunden haben, dann rechnen wir 1000 ⋅ (1/2)^2, da 11/5,5 = 2 ist, also haben wir (1/2)^2, und rechnen ⋅ (1/2) ⋅ (1/2). Alle 5,5 Sekunden haben wir also die Hälfte der Bakterien, die wir vor 5,5 Sekunden hatten. Die Anzahl der Bakterien halbiert sich also alle 5,5 Sekunden. Man sieht es hier in der Funktionsdefinition, aber es ist nützlich, es durchzuarbeiten und herauszufinden, warum es Sinn ergibt. Lass uns weitere Beispiele machen. Das chemische Element Einsteinium-253 verliert von Natur aus im Laufe der Zeit an Masse. Eine Probe von Einsteinium-253 hatte bei unserer Messung eine anfängliche Masse von 320 Gramm. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Tagen, und der Masse M(t) in Gramm, die in der Probe übrig bleibt, wird von der folgenden Funktion dargestellt. Vervollständige den folgenden Satz über die Änderungsrate der Masse in der Probe: "Die Probe verliert alle ____ Tage 87,5% ihrer Masse." In diesem Fall geben wir die Änderung in Prozent an. Wenn wir 87,5% verlieren, bedeutet das, dass 12,5% übrig bleiben. Was dasselbe ist, wie zu sagen, dass du 0,125% deiner Masse hast. Wir fragen uns jetzt also, wie lange es dauert, bis die Probe 0,125 ihrer ursprünglichen Masse erreicht hat. Wir könnten wie vorhin vorgehen, du siehst die 0,125 hier, ich könnte also eine Tabelle zeichnen, aber ich denke, dass du weißt, wie die Lösung aussieht. Ich zeichne trotzdem eine Tabelle. Wir haben t und M(t). Wenn t = 0 ist, dann ist M(t) = 320. Zu welchem Zeitpunkt rechnen wir M(t) = 320 ⋅ 0,125? Denn von diesem Punkt zu diesem verlieren wir 87,5% an Masse, wir haben 0,875 verloren, um 0,125 zu erreichen. Du könntest also 0,125^1 benutzen. Welches t brauchen wir, damit dieser Exponent gleich 1 ist? t muss 61,4 sein. t ist in Tagen angegeben, also 61,4 Tage. Du denkst jetzt vielleicht, dass die Antwort immer im Nenner steht, aber ich ermutige dich, darüber nachzudenken, den darum geht es in diesen Aufgaben. Wenn du einfach nur das Muster wiederholst, wird das nicht sehr hilfreich sein. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Howard beobachtet, wie die Anzahl der Äste an seinem Baum im Laufe der Zeit wächst. Die Beziehung zwischen der vergangenen Zeit t in Jahren, seit Howard begonnen hat, den Baum zu beobachten, und der Anzahl seiner Äste N(t), wird von der folgenden Funktion dargestellt. Vervollständige den folgenden Satz über die Änderungsrate in der Anzahl der Äste. "Howards Baum bekommt alle ____ Jahre 4/5 mehr Äste." 4/5 mehr zu bekommen, ist dasselbe wie mit 9/5 zu multiplizieren, denn du bekommst 4/5 von dem, was du bereits hast, du bekommst nicht einfach die Zahl 4/5 hinzu, du bekommst 4/5 von dem, was du bereits hast. Das ist also dasselbe, wie mit 1 + 4/5 bzw. 9/5 zu multiplizieren. 4/5 hinzuzubekommen ist dasselbe wie mit 9/5 zu multiplizieren. Wenn ich 5 Jahre alt bin und 4/5 meines Alters hinzubekomme, dann bekomme ich 4 Jahre hinzu und bin 9 Jahre alt, was bedeutet, dass ich mein Alter mit 9/5 multipliziert habe. Howards Baum wächst also mit einem Faktor von 9/5 alle ____ Jahre? Du siehst hier unsere 9/5, du hast also ein Wachstum von 9/5, jedes Mal, wenn t ein Vielfaches von 7,3 ist. Anders gesagt: Jedes Mal, wenn t um 7,3 wächst, dann wächst dieser Exponent um ein Ganzes, also kannst du es wieder als Multiplikation mit 9/5 betrachten. Howards Baum bekommt also alle 7,3 Jahre 4/5 mehr Äste.