Gleichungssystem mit Eliminierung: x-4y=-18 & -x+3y=11

Wir haben hier ein System zweier linearer Gleichungen. Wir haben hier ein System zweier linearer Gleichungen. Die erste Gleichung, x - 4y = -18, und die zweite Gleichung, -x + 3y = 11. und die zweite Gleichung, -x + 3y = 11. Wir werden nun ein x und ein y finden, die beide Gleichungen erfüllen. Wir werden nun ein x und ein y finden, die beide Gleichungen erfüllen. Wir lösen also das Gleichungssystem. Wie du bereits gesehen haben wirst, gibt es einige Kombinationen für x und y, die die erste Gleichung erfüllen. gibt es einige Kombinationen für x und y, die die erste Gleichung erfüllen. Wenn man sie graphisch darstellt, ergeben sie eine Gerade, Wenn man sie graphisch darstellt, ergeben sie eine Gerade, und es gibt einige Kombinationen von x und y, die die zweite Gleichung erfüllen. und es gibt einige Kombinationen von x und y, die die zweite Gleichung erfüllen. und es gibt einige Kombinationen von x und y, die die zweite Gleichung erfüllen. Und auch diese formen eine Gerade. Und auch diese formen eine Gerade. Und die Kombination von x und y, die beide Gleichungen erfüllt, wäre der Schnittpunkt dieser Geraden. Und die Kombination von x und y, die beide Gleichungen erfüllt, wäre der Schnittpunkt dieser Geraden. Lass uns das mal tun. Ich schreibe die erste Gleichung um. Ich schreibe die erste Gleichung um. x - 4y = 18. x - 4y = 18. In Algebra haben wir gelernt, dass die Gleichung erhalten bleibt, solange wir auf beiden Seiten das Gleiche tun. dass die Gleichung erhalten bleibt, solange wir auf beiden Seiten das Gleiche tun. dass die Gleichung erhalten bleibt, solange wir auf beiden Seiten das Gleiche tun. Unser Ziel ist eine der Variablen zu eliminieren, Unser Ziel ist eine der Variablen zu eliminieren, so dass wir eine Gleichung mit einer Unbekannten haben. Was wäre, wenn wir -x + 3y auf der linken Seite hier addieren würden? Also -x + 3y, das sieht gut aus, Also -x + 3y, das sieht gut aus, denn ein x und ein -x kürzen sich weg, und übrig bleibt -4y + 3y. und übrig bleibt -4y + 3y. Das ist -y. In dem wir die linke Seite der unteren Gleichung, zu der linken Seite der oberen addieren, In dem wir die linke Seite der unteren Gleichung, zu der linken Seite der oberen addieren, In dem wir die linke Seite der unteren Gleichung, zu der linken Seite der oberen addieren, haben wir die x weggekürzt. Wir hatten ein x und ein -x. Wir hatten ein x und ein -x. Was machen wir nun auf der rechten Seite? Wir wissen, dass wir das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung addieren müssen. Wir wissen, dass wir das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung addieren müssen. Wir könnten einfach dasselbe auf beiden Seiten addieren. Wir könnten einfach dasselbe auf beiden Seiten addieren. Wir könnten einfach dasselbe auf beiden Seiten addieren. Vielleicht müssen wir ein -x + 3y addieren. Vielleicht müssen wir ein -x + 3y addieren. Aber das wird uns nicht helfen. Wir bekommen -18 - x + 3y. Wir würden nur ein x auf der rechten Seite hinzufügen. Wir würden nur ein x auf der rechten Seite hinzufügen. Aber was, wenn wir etwas addieren könnten, das äquivalent zu -x + 3y ist, aber kein x enthält? das äquivalent zu -x + 3y ist, aber kein x enthält? Wir wissen, dass 11 äquivalent zu -x und + 3y ist. Wir wissen, dass 11 äquivalent zu -x und + 3y ist. Woher wissen wir das? Nun, die zweite Gleichung sagt uns das. Und ich addiere einfach nur das Gleiche zu beiden Seiten der oberen Gleichung. Und ich addiere einfach nur das Gleiche zu beiden Seiten der oberen Gleichung. Auf der linken Seite drücke ich es als -x + 3y aus, aber die zweite Gleichung sagt uns, dass -x + 3y gleich 11 ist. dass -x + 3y gleich 11 ist. Es fügt die zweite Nebenbedingung ein. Und so, lass uns 11 auf der rechten Seite addieren, was das Gleiche ist wie -x + 3y. was das Gleiche ist wie -x + 3y. Also -18 plus 11 ist gleich -7, Also -18 plus 11 ist gleich -7, und da wir auf beiden Seiten das Gleiche addiert haben, gilt die Gleichung immer noch, und wir bekommen -y = -7 oder teilen beide Seiten durch -1 oder multiplizieren beide Seiten mit -1. Dann bekommen wir y = 7. Dann bekommen wir y = 7. Damit haben wir die Y Koordinate der Kombination (X,Y) Wie finden wir x? Wir können dieses y = 7 in jede dieser beiden einsetzen. Wir können dieses y = 7 in jede dieser beiden einsetzen. Wenn y = 7 ist, sollten wir das Gleiche x bekommen, egal welche der Gleichungen wir nehmen. Also lass uns die obere nehmen. Wir wissen, dass x - 4 * 7 gleich -18 ist, anstatt von 4y habe ich 4 * 7 geschrieben. anstatt von 4y habe ich 4 * 7 geschrieben. denn wir wollen herausfinden, was x ist, für y = 7. denn wir wollen herausfinden, was x ist, für y = 7. Das hier ist -18, und 4 * 7 ist 28. und 4 * 7 ist 28. Ich kann jetzt nach x auflösen. Ich kann 28 auf beiden Seiten hinzufügen. Ich kann 28 auf beiden Seiten hinzufügen. Links kürzen sich - 28 und 28 weg. Links kürzen sich - 28 und 28 weg. Und x bleibt übrig, und auf der rechten Seite, bekomme ich - 18 + 28 = 10. Damit haben wir es. Die (X,Y) Kombination, die beide erfüllt. x = 10. y = 7. Ich könnte sie als Koordinaten schreiben. Ich könnte sie als Koordinaten schreiben. Als (10,7). Und schau, was ich hier gemacht habe. Setze nun selbst, y = 7 hier ein Setze nun selbst, y = 7 hier ein und du bekommst x = 10. In jedem Fall würden wir auf x = 10 kommen. Ich zeichne das mal kurz. Ich zeichne das mal kurz. Lass mich ein Koordinatensystem zeichnen. Lass mich ein Koordinatensystem zeichnen. Lass mich ein Koordinatensystem zeichnen. Das hier ist unsere y-Achse Das hier ist unsere y-Achse und das unsere x-Achse. und das unsere x-Achse. Die erste Gleichung sieht etwa so aus. Die erste Gleichung sieht etwa so aus. Und die untere Gleichung etwa so. Und die untere Gleichung etwa so. Und die untere Gleichung etwa so. Und die untere Gleichung etwa so. Und die untere Gleichung etwa so. Und die untere Gleichung etwa so. Du kannst den Schnittpunkt der beiden hier sehen. Du kannst den Schnittpunkt der beiden hier sehen. Er ist eine Kombination von (X,Y), die beide Gleichungen erfüllt. Er ist eine Kombination von (X,Y), die beide Gleichungen erfüllt. Wie wir soeben gesehen haben, schneiden sie sich, bei x = 10 und y = 7. schneiden sie sich, bei x = 10 und y = 7. Diese weiße Gerade, repräsentiert alle Kombinationen von x und y, die die obere Gleichung erfüllen repräsentiert alle Kombinationen von x und y, die die obere Gleichung erfüllen Die orange Gerade, das sind alle x und y Kombinationen, die die orange Gleichung erfüllen. Die orange Gerade, das sind alle x und y Kombinationen, die die orange Gleichung erfüllen. Und der Punkt in dem sich beide schneiden, liegt auf beiden Geraden. Er erfüllt beide Gleichungen. Und noch einmal, nimm x = 8 und y = 7. Und noch einmal, nimm x = 8 und y = 7. Setze sie in jede dieser beiden Gleichungen ein, und du wirst sehen, dass das stimmt.