Gleichungssysteme mit Eliminierung: Des Königs Kuchen

Nachdem du die Brücke des Kobolds überwunden hast und den Prinzen gerettet, oder die Prinzessin, bringst du sie zu ihrem Vater, dem König. Der ist so begeistert, dass er ein Brunch zu deinen Ehren geben möchte. Der ist so begeistert, dass er ein Brunch zu deinen Ehren geben möchte. Dabei hat er ein Problem. Dabei hat er ein Problem. Wie viele Törtchen soll er bestellen? Er will keine Reste haben, aber alle sollen genug zu essen bekommen. Er will keine Reste haben, aber alle sollen genug zu essen bekommen. Du antwortest: "Wo ist das Problem?" Er meint, Erwachsene würden andere Mengen essen als die Kinder. Er meint, Erwachsene würden andere Mengen essen als die Kinder. In meinem Königreich isst jeder Erwachsene immer dieselbe Menge, und jedes Kind auch. In meinem Königreich isst jeder Erwachsene immer dieselbe Menge, und jedes Kind auch. In meinem Königreich isst jeder Erwachsene immer dieselbe Menge, und jedes Kind auch. Du fragst den König, ob er noch mehr weiss. Du könntest ihm vielleicht helfen. Nach dieser Geschichte mit dem Troll bist du sehr zuversichtlich. Der König sagt: "An der letzten Party waren 500 Erwachsene und 200 Kinder, Der König sagt: "Auf der letzten Party waren 500 Erwachsene und 200 Kinder, die aßen zusammen 2900 Törtchen." Du meinst, ok. Ich brauche aber etwas mehr Information. Hast du schon einmal Parties gegeben? Klar, sagt der König. Ich liebe Parties. Klar, sagt der König. Ich liebe Parties. Wie war das an der Party davor? Nun, meint der König, da hatten wir 500 Erwachsene, aber 300 Kinder. Nun, meint der König, da hatten wir 500 Erwachsene, aber 300 Kinder. Nun, meint der König, da hatten wir 500 Erwachsene, aber 300 Kinder. Und wieviele Törtchen wurden damals verspeist? Und wieviele Törtchen wurden damals verspeist? Damals waren es 3100 Törtchen, meint der König. Du hast das Gefühl, dass ein wenig Algebra hier helfen könnte. Du hast das Gefühl, dass ein wenig Algebra hier helfen könnte. Du hast das Gefühl, dass ein wenig Algebra hier helfen könnte. Was müssen wir wissen? Wir müssen herausfinden, wie viele Törtchen ein Erwachsener isst. Wir müssen herausfinden, wie viele Törtchen ein Erwachsener isst. Wir müssen herausfinden, wie viele Törtchen ein Erwachsener isst. Wir müssen auch herausfinden, wie viele Törtchen ein Kind isst. Wir müssen auch herausfinden, wie viele Törtchen ein Kind isst. Die beiden Sachen müssen wir herausfinden. Die beiden Sachen müssen wir herausfinden. Dann können wir festlegen, wie viele Gäste zu diesem Brunch kommen werden, Dann können wir festlegen, wie viele Gäste zu diesem Brunch kommen werden, und die richtige Menge Törtchen bestellen. Diese beiden Dinge kennen wir also nicht. Diese beiden Dinge kennen wir also nicht. Definieren wir doch ein paar Variablen, welche für diese Dinge stehen. Sagen wir a für die Erwachsenen. a ist die Anzahl Törtchen, die ein Erwachsener im Durchschnitt isst. a ist die Anzahl Törtchen, die ein Erwachsener im Durchschnitt isst. Sagen wir c für Kinder. c ist die Anzahl Törtchen, die ein Kind im Durchschnitt isst. Können wir jetzt algebraisch aufschreiben, was uns der König gesagt hat? Können wir jetzt algebraisch aufschreiben, was uns der König gesagt hat? Zuerst diese Information in oranger Schrift. Wie sagen wir das auf "algebraisch"? Auf der Party waren 500 Erwachsene, und jeder hat "a" Törtchen gegessen. Auf der Party waren 500 Erwachsene, und jeder hat "a" Törtchen gegessen. Auf der Party waren 500 Erwachsene, und jeder hat "a" Törtchen gegessen. Auf der Party waren 500 Erwachsene, und jeder hat "a" Törtchen gegessen. Alle Erwachsenen zusammen haben 500 mal "a" Törtchen gegessen. Alle Erwachsenen zusammen haben 500 mal "a" Törtchen gegessen. Und die Kinder? - das geht genau gleich. Und die Kinder? - das geht genau gleich. 200 Kinder waren dort, jedes aß "c" Törtchen. Alle Kinder zusammen haben 200 mal "a" Törtchen gegessen. Alle Kinder zusammen haben 200 mal "a" Törtchen gegessen. Und wie viele Törtchen waren es insgesamt? Alle zusammen, Erwachsene und Kinder, haben 2900 Törtchen gegessen. Alle zusammen, Erwachsene und Kinder, haben 2900 Törtchen gegessen. Alle zusammen, Erwachsene und Kinder, haben 2900 Törtchen gegessen. Machen wir dasselbe mit der blauen Party. Machen wir dasselbe mit der blauen Party. Wie können wir das algebraisch ausdrücken? Wie viele Törtchen haben die Erwachsenen gegessen? 500 Erwachsene waren da, jeder aß "a" Törtchen. Wie viele "a" sind, wissen wir noch nicht. Und die Kinder? 300 Kinder, jedes aß 'c' Törtchen. Alle Erwachsene und alle Kinder zusammen haben insgesamt 3100 Törtchen gegessen. Alle Erwachsene und alle Kinder zusammen haben insgesamt 3100 Törtchen gegessen. Alle Erwachsene und alle Kinder zusammen haben insgesamt 3100 Törtchen gegessen. Das sieht interessant aus, nicht? Ich habe zwei Gleichungen, ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Aus deiner Erfahrung mit dem Kobold weisst du, dass das lösbar sein sollte. Aus deiner Erfahrung mit dem Kobold weisst du, dass das lösbar sein sollte. Entweder grafisch, wie damals - aber jetzt denkst du, dass es da noch einen anderen Weg geben müsste, aber jetzt denkst du, dass es da noch einen anderen Weg geben müsste, den du eigentlich schon kennst. Wie könnte das gehen? Schreiben wir erst einmal diese erste Gleichung um. 500 a plus 200 c ist gleich 2900 Törtchen. Es wäre toll, wenn wir das 500 a wegbekämen. Es wäre toll, wenn wir das 500 a wegbekämen. Du meinst, einfach 500 a subtrahieren? Du meinst, einfach 500 a subtrahieren? Aber wenn du rechts 500 a subtrahierst, musst du das auch links tun. Aber wenn du rechts 500 a subtrahierst, musst du das auch links tun. Dann wäre das "a" noch nicht weg. Es wäre einfach rechts, aber die Gleichung hätte immer noch zwei Unbekannte. Es wäre einfach rechts, aber die Gleichung hätte immer noch zwei Unbekannte. Es wäre einfach rechts, aber die Gleichung hätte immer noch zwei Unbekannte. Aber dann siehst du etwas Interessantes: Was, wenn ich die 500 a und diese 300 c subtrahiere? Was, wenn ich die 500 a und diese 300 c subtrahiere? Was, wenn ich die 500 a und diese 300 c subtrahiere? Die subtrahiere ich links. Warum ist das nützlich? Rechts machst du dasselbe, dann hast du rechts auch a und c. Warte mal, sagst du. Warte mal, sagst du. Warte mal, sagst du. Ich subtrahiere die linke Seite der Gleichung, aber die linke ist genau gleich wie die rechte Seite. aber die linke ist genau gleich wie die rechte Seite. Hier könnte ich 500 a und 300 c subtrahieren, und dort könnte ich 500 a und 300 c subtrahieren. Aber wir wissen, dass 500 a plus 300 c genau 3100 sind. Noch einmal: Dieses "minus 500a minus 300c" ist wie minus (500a plus 300c). 500a plus 300c ist genau 3100. 500a plus 300c ist genau 3100. Das war die blaue Party des Königs. Anstelle 500a plus 300c zu subtrahieren, dürfen wir einfach 3100 subtrahieren. Anstelle 500a plus 300c zu subtrahieren, dürfen wir einfach 3100 subtrahieren. Machen wir das. Das ist spannend. Löschen wir das weg, und schreiben minus 3100. Löschen wir das weg, und schreiben minus 3100. Löschen wir das weg, und schreiben minus 3100. Das ist genau derselbe Wert. Das ist genau derselbe Wert. Es sieht so aus, als würden wir die untere Gleichung von der oberen subtrahieren. Es sieht so aus, als würden wir die untere Gleichung von der oberen subtrahieren. In Wirklichkeit subtrahieren wir auf beiden Seiten dasselbe. Ganz einfach. In Wirklichkeit subtrahieren wir auf beiden Seiten dasselbe. Ganz einfach. In Wirklichkeit subtrahieren wir auf beiden Seiten dasselbe. Ganz einfach. Schauen wir mal, was dann passiert. Links, 500a minus 500a, das kürzt sich weg. 200c minus 300c gibt minus 100c. Rechts, 2900 minus 3100 gibt -200. Rechts, 2900 minus 3100 gibt -200. Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten. Das können wir lösen. Wenn wir beide Seiten durch -200 dividieren, Wenn wir beide Seiten durch -200 dividieren, bleibt 2. c ist also gleich 2. Jetzt haben wir schon eine Unbekannte. Jedes Kind isst im Schnitt 2 Törtchen. c ist gleich 2. Wie bekommen wir jetzt a? Wir nehmen einfach c und setzen es in eine der beiden Geichungen ein. Wir nehmen einfach c und setzen es in eine der beiden Geichungen ein. Dann lösen wir für a. Nehmen wir die orange Gleichung und lösen für a. 500a plus 200 c, aber c ist 2! 500a plus 200 mal 2 gleich 2900. Jetzt nach a auflösen. Eine Gleichung mit einer Unbekannten. Jetzt nach a auflösen. Eine Gleichung mit einer Unbekannten. 500a, 200 mal 2, das ist 400, also plus 400, gleich 2900. Jetzt 400 von beiden Seiten subtrahieren. Jetzt 400 von beiden Seiten subtrahieren. Jetzt 400 von beiden Seiten subtrahieren. Übrig bleibt: links 500a Übrig bleibt: links 500a -- wir haben's gleich! -- rechts 2500. 500a ist gleich 2500. Beide Seiten durch 500 dividieren, dann bleibt 2500 dividiert durch 500, gleich 5. a ist also gleich 5, und wir haben's! Du hast das Problem des Königs gelöst! Jedes Kind isst 2 Törtchen, Jedes Kind isst 2 Törtchen, Jedes Kind isst 2 Törtchen, und jeder Erwachsene isst 5 Törtchen. a gleich 5. Je nachdem, wie viele Erwachsene und Kinder zum Brunch zu deinen Ehren kommen werden, weisst du jetzt genau, wieviele Törtchen der König bestellen muss. weisst du jetzt genau, wieviele Törtchen der König bestellen muss.