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Besondere Produkte der Form (x+a)(x-a) (3. Binomische Formel)

Video-Transkript

Versuchen wir, herauszufinden, was (x plus 3) mal (x minus 3) ist. Versuchen wir, herauszufinden, was (x plus 3) mal (x minus 3) ist. Versuchen wir, herauszufinden, was (x plus 3) mal (x minus 3) ist. Pausiert bitte das Video und versucht es zunächst alleine. Pausiert bitte das Video und versucht es zunächst alleine. Bisher haben wir beim Multiplizieren von Binomen das Distributivgesetz zweimal angewandt. Bisher haben wir beim Multiplizieren von Binomen das Distributivgesetz zweimal angewandt. Bisher haben wir beim Multiplizieren von Binomen das Distributivgesetz zweimal angewandt. Wir nehmen diesen gelben Term x plus 3 und multiplizieren ihn mit jedem dieser Terme. Wir nehmen diesen gelben Term x plus 3 und multiplizieren ihn mit jedem dieser Terme. Zuerst multiplizieren wir ihn mit diesem x. Das gibt x mal (x plus 3). Dann multiplizieren wir ihn mit dieser -3. Dann multiplizieren wir ihn mit dieser -3. Das gibt -3 mal (x plus 3). Das gibt -3 mal (x plus 3). Das gibt -3 mal (x plus 3). Dann wenden wir das Distributivgesetz noch einmal an. Dann wenden wir das Distributivgesetz noch einmal an. Wir nehmen dieses pinke x und multiplizieren es mit dem gelben (x plus 3): x mal x ist x², x mal 3 ist 3x. Dasselbe machen wir dort: minus 3 mal x ergibt minus 3x, und minus 3 mal 3 ergibt minus 9. und minus 3 mal 3 ergibt minus 9. Wie kann man das vereinfachen? Nun, wir haben das x², 3x und -3x kürzen sich heraus, 3x und -3x kürzen sich heraus, es bleibt nur x² minus 9 übrig. es bleibt nur x² minus 9 übrig. Hier steckt ein Muster drin: ich habe hier 3 addiert, und dort 3 subtrahiert. Ich bekam x² und minus 9. Ich bekam x² und minus 9. Ich bekam x² und minus 9. Ich bekam x² und minus 9. Die beiden mittleren Terme fielen heraus. Ist das immer so? Ist das immer so? Wenn wir hier eine Zahl addieren und dort die Zahl subtrahieren? Wenn wir hier eine Zahl addieren und dort die Zahl subtrahieren? Versuchen wir´s. Versuchen wir das hier zu verallgemeinern: Anstatt (x plus 3) mal (x minus 3) sagen wir (x plus a) mal (x minus a). Anstatt (x plus 3) mal (x minus 3) sagen wir (x plus a) mal (x minus a). Anstatt (x plus 3) mal (x minus 3) sagen wir (x plus a) mal (x minus a). Anstatt (x plus 3) mal (x minus 3) sagen wir (x plus a) mal (x minus a). Anstatt (x plus 3) mal (x minus 3) sagen wir (x plus a) mal (x minus a). Pausiert bitte das Video. Rechnet, als wäre a eine Zahl, zum Beispiel 3. Pausiert bitte das Video. Rechnet, als wäre a eine Zahl, zum Beispiel 3. Pausiert bitte das Video. Rechnet, als wäre a eine Zahl, zum Beispiel 3. Verwendet das Distributivgesetz zweimal. Verwendet das Distributivgesetz zweimal. Jetzt machen wir es zusammen: Zuerst können wir dieses gelbe (x plus a) mit dem (x minus a) ausmultiplizieren. Zuerst können wir dieses gelbe (x plus a) mit dem (x minus a) ausmultiplizieren. Das gibt: x mal (x plus a) Das gibt: x mal (x plus a) Das gibt: x mal (x plus a) Das gibt: x mal (x plus a) dasselbe mit dem minus a: minus a mal (x plus a). dasselbe mit dem minus a: minus a mal (x plus a). dasselbe mit dem minus a: minus a mal (x plus a). dasselbe mit dem minus a: minus a mal (x plus a). Schau, ich habe nur den gelben Term ausmultipliziert. Schau, ich habe nur den gelben Term ausmultipliziert. Schau, ich habe nur den gelben Term ausmultipliziert. und zwar mit diesem x und diesem -a. und zwar mit diesem x und diesem -a. und zwar mit diesem x und diesem -a. Jetzt wenden wir das Distributivgesetz noch einmal an: x mal x ist x². x mal a ist ax. dann: -a mal x ist -ax. -a mal a ist -a². und dann -a mal a ist -a². Egal, wie ich mein a wähle, bekomme ich ax minus ax. Egal, wie ich mein a wähle, bekomme ich plus ax und minus ax. Das kürzt sich also stets heraus. Das habe ich nicht nur für a = 3 gemacht, sondern für jedes beliebige a. Das habe ich nicht nur für a = 3 gemacht, sondern für jedes beliebige a. Ich habe ax, und subtrahiere ax. Beides fällt weg. Ich habe ax, und subtrahiere ax. Beides fällt weg. Was bleibt schließlich übrig? Es bleibt übrig: x² minus a². Es bleibt übrig: x² minus a². Dies ist ein Spezialfall. Wenn man x plus Irgendwas, mal x minus dasselbe Irgendwas hat, Wenn man x plus Irgendwas, mal x minus dasselbe Irgendwas hat, erhält man x² minus dieses Irgendwas zum Quadrat. erhält man x² minus dieses Irgendwas zum Quadrat. Das hier zu wissen, ist allgemein sehr wichtig. Das hier können wir anwenden, um schnell die Produkte anderer Binome zu ermitteln, Das hier können wir anwenden, um schnell die Produkte anderer Binome zu ermitteln, die in dieses Muster hier passen. Sagen wir z.B.: "Was ist x plus 10, mal x minus 10?" Sagen wir z.B.: "Was ist x plus 10, mal x minus 10?" Es passt in dieses Muster hinein: x plus a, mal x minus a. Es passt in dieses Muster hinein: x plus a, mal x minus a. Es passt in dieses Muster hinein: x plus a, mal x minus a. Also ist es x² minus a². Wenn a gleich 10 ist, dann ist a² gleich 100. Wenn a gleich 10 ist, dann ist a² gleich 100. Sobald man das Muster also erkannt hat, kann man das Problem wirklich schnell lösen. Sobald man das Muster also erkannt hat, kann man das Problem wirklich schnell lösen.