Rationale Ausdrücke dividieren: unbekannter Ausdruck

Uns wird gesagt, dass die folgende Gleichung für alle reellen Werte von y gilt, für die der Ausdruck links definiert ist, und dass D ein polynomialer Ausdruck ist. Und wir haben diese Gleichung hier. Die Frage lautet, was D ist. Wir sollen also die Gleichung nicht lösen. Wir wissen, dass D eine Art polynomialer Ausdruck sein wird. Das steht hier: D ist ein polynomialer Ausdruck. Und wenn wir herausfinden, was D ist, ergibt die linke Seite des Ausdrucks 1 für alle reellen Werte von y, für die der Ausdruck definiert ist. Wie fangen wir an? Zuerst erinnere ich mich daran, dass Division durch einen Bruch oder rationalen Ausdruck dasselbe ist, wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Wir schreiben das hier links also um. Wir haben also (20y² - 80)/D. Und wir multiplizieren diesen Ausdruck mit dem Kehrwert dieses Bruchs. Wenn ich durch etwas dividiere, ist das dasselbe, wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren, also tausche ich Zähler und Nenner. (y³ + 9y²)/(4y² - 8y). Das alles ergibt 1. Jetzt versuchen wir, die linke Seite etwas zu vereinfachen. Hier drüben kann ich beide Terme durch 20 dividieren. Ich klammere also 20 aus, da ich vermute, dass wir dann eine Differenz von Quadraten haben. Ich klammere also 20 aus. Und erhalte 20(y² - 4). (y² - 4) können wir auch als (y + 2)(y - 2) schreiben. Es ist eine Differenz von Quadraten. Ich schreibe also (y + 2)(y - 2). Hier unten bei (4y² - 8y) können wir 4y ausklammern. Wir schreiben es also als 4y(y - 2). Ich streiche es durch. Das ist dasselbe wie 4y(y - 2) und ich sehe, dass sich diese (y - 2) und die (y - 2) hier wegkürzen. Hier oben lassen sich beide Terme durch y² teilen, also schreibe ich das ebenfalls um. Ich weiß nicht, ob uns das weiterhilft, aber ich mache es trotzdem. Es ist dasselbe wie y²(y + 9). Okay. Wir konnten also alles umschreiben. Wenn wir alles zusammen multiplizieren, hätten wir im Zähler 20(y + 2)(y - 2)y²(y + 9). Ich multipliziere einfach alle Zähler. Und im Nenner habe ich den Ausdruck D ⋅ 4y(y - 2). Und das alles ergibt 1. Denken wir darüber nach. Wir dividieren (y - 2) durch (y - 2), also kürzt sich das weg. Wir können Zähler und Nenner durch y dividieren, und das ergibt einfach nur 1. Und das ergibt dann y¹. Im Zähler steht dann 20y(y + 2)(y + 9). Im Nenner haben wir 4D. All das ergibt 1. Wenn wir jetzt 4D auflösen wollen, könnten wir einfach beide Seiten mit D multiplizieren, 1 ⋅ D = D. Dann hätten wir D ist gleich einem Ausdruck links. Dann wären wir fertig. Also machen wir das. Wir multiplizieren D mit diesem Ausdruck, und multiplizieren das mit D. Ich möchte deutlich machen, was ich hier tue. Ich zeichne hier einen Trennstrich, um deutlich zu machen, dass das auf der anderen Seite passiert. Wir multiplizieren also mit D. Die beiden kürzen sich weg. Ich könnte sogar noch weiter vereinfachen. 20/4 = 5. Unser Zähler ist jetzt also nur 1. Wir haben also 5y(y + 2)(y + 9) = D. Wir sind fertig. Das ist D. Das ist der polynomiale Ausdruck, nach dem wir gesucht haben. Wenn du das wieder einsetzen und dann versuchen würdest, es zu vereinfachen, würdest du das alles hier erhalten, und D wäre das. Und das alles würde sich wegkürzen, und es bleibt einfach nur 1 übrig. Für alle reellen Werte y, für die der Ausdruck links definiert ist. Es gibt einige y-Werte, für die der Ausdruck links nicht definiert ist. Wenn y = 0 ist, ist der Nenner 0, und wir würden durch 0 dividieren, was nicht definiert ist. Und dann, wenn du mit dem Kehrwert multiplizierst, und das hier 0 wäre, wäre das auch nicht gut. Und es gibt mehrere Wege, wie das hier 0 wird. y könnte -9 sein, dann wäre das hier unten 0. Wir könnten weiter darüber nachdenken, aber das ist nicht Teil der Aufgabe. Die Aufgabe lautet, dass wir für alle reellen Werte für y, für die der Ausdruck definiert ist, das D finden sollen, das dafür sorgt, dass das hier alles 1 ergibt. Und das haben wir gemacht.