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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 2: Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren

Rationale Ausdrücke dividieren

Erfahre, wie man den Quotienten zweier rationaler Ausdrücke ermittelt.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, deren Nenner gleich Null ist.

Wir können rationale Terme in der gleichen Weise multiplizieren, wie wir numerische Brüche multiplizieren - indem wir faktorisieren, gemeinsame Faktoren kürzen und miteinander multiplizieren.

Wenn dir das nicht bekannt ist, solltest du zuerst die folgenden Artikel lesen:

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du, rationale Terme zu dividieren.

Teilen von Brüchen

Um zwei numerische Brüche zu dividieren, multiplizieren wir den Dividenden (den ersten Bruch) mit dem Kehrwert des Divisors (der zweite Bruch). Ein Beispiel:

\begin{aligned} \frac{2}{9} : \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Multipliziere mit dem Kehrwert \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Faktorisere Zähler und Nenner \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Kürze gemeinsame Faktoren \\ = \frac{1}{12} & Multipliziere miteinander \end{aligned}

Wir können diese Methode auch verwenden, um rationale Ausdrücke zu dividieren.

Beispiel 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Multipliziere mit dem Kehrwert \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Faktorisere Zähler und Nenner \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Kürze gemeinsame Faktoren \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & Multipliziere miteinander \end{aligned}

Wie immer müssen wir über eingeschränkte Werte nachdenken. Beim Dividieren von zwei rationalen Ausdrücken ist der Quotient nicht definiert ...

für jeden Wert, der einen der ursprünglichen rationalen Ausdrücke undefiniert macht,
und für jeden Wert, der den Divisor gleich Null macht.

Zusammenfassend ist der Ausdruck, der das Ergebnis von

\frac{A}{B} : \frac{C}{D}

ist, nicht definiert, wenn entweder

B = 0

C = 0

oder

D = 0

ist.

Wir wollen den Dividend und den Divisor bei dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen.

Der Dividend $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ ist für alle $x$ ‍-Werte definiert.
Der Divisor $\frac{9 x}{10}$ ‍ ist für alle $x$ ‍-Werte definiert und für $x = 0$ ‍ gleich Null.

Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für

x \neq 0

definiert ist. Das ist unsere endgültige Lösung:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ für $x \neq 0$ ‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.

\frac{3}{10 x^{2}} : \frac{6}{15 x^{5}} =

für

x \neq

\begin{aligned} \frac{3}{10 x^{2}} : \frac{6}{15 x^{5}} \\ = \frac{3}{10 x^{2}} \cdot \frac{15 x^{5}}{6} & Mit dem Kehrwert multiplizieren \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Faktorisiere \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Kürze gemeinsame Faktoren \\ = \frac{3 x^{3}}{4} & Multipliziere über Kreuz \end{aligned}

Wir wollen den Dividend und den Divisor bei dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen.

Der Dividend $\frac{3}{10 x^{2}}$ ‍ ist für $x = 0$ ‍ nicht definiert.
Der Divisor $\frac{6}{15 x^{5}}$ ‍ ist für $x = 0$ ‍ nicht definiert.

Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für

x \neq 0

definiert ist. Das ist unsere endgültige Lösung:

$\frac{3 x^{3}}{4}$ ‍ für $x \neq 0$ ‍

Beispiel 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Wie immer multiplizieren wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Dann faktorisieren wir, kürzen gemeinsame Faktoren und multiplizieren sie. Schließlich untersuchen wir nicht zugelassene Werte.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Multipliziere mit dem Kehrwert \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Faktorisiere \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Kürze gemeinsame Faktoren \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & Multipliziere miteinander \end{aligned}

Wir wollen den Dividend und den Divisor in dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen. Es ist am einfachsten, die faktorisierte Form dieser Ausdrücke zu verwenden.

Der Dividend $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ ist für $x \neq - 5, 2$ ‍ definiert.
Der Divisor $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍ ist für $x \neq 5$ ‍ definiert und für $x = - 3$ ‍ gleich Null.

Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für

x \neq - 5, - 3, 2, 5

definiert ist.

Aus diesem Grund müssen wir beachten, dass

x \neq 5, 2, - 3

ist. Wir brauchen nicht zu beachten, dass

x \neq - 5

ist, da wir dies aus dem Ausdruck erkennen. Das ist unsere endgültige Lösung:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ für $x \neq 5, 2, - 3$ ‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} : \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} : \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \cdot \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} & Mit dem Kehrwert multiplizieren \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Faktorisiere \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Kürze gemeinsame Faktoren \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} & Multipliziere über Kreuz \end{aligned}

Wir wollen den Dividend und den Divisor in dieser Aufgabe untersuchen, um die Einschränkungen für den Definitionsbereich zu bestimmen.

Der Dividend $\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍ ist für $x \neq 2, - 2$ ‍ definiert.
Der Divisor $\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍ ist für $x \neq - 2$ ‍ definiert und für $x = 7, - 1$ ‍ gleich Null.

Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für

x \neq - 2, - 1, 2, 7

definiert ist.

3) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} : \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} : \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} & Mit dem Kehrwert multiplizieren \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Faktorisiere \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Eliminiere gemeinsame Faktoren \\ = \frac{x + 4}{x + 3} & Multipliziere über Kreuz \end{aligned}

Wir wollen den Dividend und den Divisor in dieser Aufgabe untersuchen, um die Einschränkungen für den Definitionsbereich zu bestimmen.

Der Dividend $\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍ ist für $x \neq - 3, 3$ ‍ definiert.
Der Divisor $\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍ ist für $x \neq 3, 1$ ‍ definiert.

Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für

x \neq - 3, 1, 3

definiert ist.

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Beispiel 1: 3x44:9x10‍

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Beispiel 2: x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5‍

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Beispiel 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

Beispiel 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍