Umkehrfunktionen ermitteln: Quadratisch

Wir haben die Funktion f(x) = (x + 2)² + 1. Und unser Definitionsbereich ist darauf beschränkt, dass x größer oder gleich -2 sein muss. So haben wir unsere Funktion definiert. Und wir wollen ihre Umkehrfunktion finden. Denk darüber nach, warum wir x darauf beschränken mussten, größer oder gleich -2 zu sein. Hätten wir die Umkehrfunktion nicht auch mit einer kompletten Parabel finden können? Denk darüber nach. Vielleicht mache ich auch noch ein Video darüber. Lass uns jetzt die Umkehrfunktion herausfinden. Wie in der Einführung zu Umkehrfunktionen besprochen, suchen wir eine Zuordnung. Wenn wir z.B. sagen, dass y = (x + 2)² + 1 ist. Das ist die Funktion, du setzt ein x ein und erhältst ein y. Wir wollen das aber andersherum haben. Wir wollen ein y einsetzen und dann ein x bekommen. Wir sollten also nach x in Form von y auflösen. Also machen wir das schrittweise. Als erstes könnten wir 1 von beiden Seiten dieser Gleichung subtrahieren. y - 1 = (x + 2)². Um das zu lösen, willst du vielleicht die Quadratwurzel ziehen. Und das wäre auch richtig. Aber es ist sehr wichtig, darüber nachzudenken, ob du hier die positive oder negative Wurzel ziehen willst. Unser Definitionsbereich ist darauf beschränkt, dass x größer oder gleich -2 ist. Dieser Wert hier x + 2, wenn x immer größer oder gleich -2 ist, wird x + 2 immer größer oder gleich 0 sein. Dieser Ausdruck hier ist also positiv. Also haben wir eine positive quadratische Gleichung. Wenn wir also x + 2 im richtigen Definitionsbereich bekommen möchten, ziehen wir die positive Wurzel. Im nächsten Video werden wir ein Beispiel lösen, bei dem du die negative Wurzel ziehst. Wir ziehen also die positive Quadratwurzel, oder einfach die normale Wurzel, auf beiden Seiten. Du erhältst √(y - 1) = x + 2. Ich hätte daran denken sollen, dass x von Anfang an beschränkt wurde. x ist größer oder gleich -2. Aber welche Beschränkung haben wir für y? Wenn du dir den Graphen hier anschaust, ist x größer oder gleich -2. Aber was ist y? Welche Reihe von y-Werte können wir hier erhalten? Wenn du dir den Graphen anschaust, siehst du, dass y immer größer oder gleich 1 sein wird. Das liegt daran, dass dieser Term hier immer größer oder gleich 0 sein wird. Der Mindestwert, den die Funktion annehmen kann, ist also 1. Wir haben also „für x größer oder gleich -2“, und wir könnten hinzufügen, dass y immer größer oder gleich 1 ist. Die Funktion ist immer größer oder gleich 1. Und ich schreibe es in diesem Schritt, weil wir später x und y tauschen werden. Also schreibe ich es hierhin. Hier haben wir nicht ganz nach x oder y aufgelöst, aber wir können schreiben, dass es für y größer oder gleich 1 gilt. Das ist quasi der Definitionsbereich für unsere Umkehrfunktion. Hier schreiben wir es ebenfalls hin: „Für y größer oder gleich 1“. Die Beschränkung dieses y ist wichtiger, weil hier der Definitionsbereich x ist. Aber bei der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich der y-Wert. Machen wir weiter. Wir haben √(y - 1) = x + 2. Jetzt können wir von beiden Seiten 2 subtrahieren. Wir erhalten √(y - 1) - 2 = x, für y größer oder gleich 1. Wir haben also nach x in Form von y aufgelöst. Oder ich kann es umschreiben. x = √(y - 1) - 2, für y ist größer oder gleich 1. Jetzt siehst du, dass y der Input der Funktion ist, welche die Umkehrfunktion dieser Funktion ist. x ist der Output. x ist jetzt also die Zielmenge. Wir können sie also auch f^-1(y) nennen, das ist das was x ist. f^-1(y) = √(y - 1) - 2, für y größer oder gleich 1. Und das ist die Umkehrfunktion. Wir könnten sagen, dass das unsere Antwort ist. Aber meistens ist die Antwort in Form von x gefragt. Und wir wissen, dass wir hier alles einsetzen könnten. Wenn wir ein a einsetzen, können wir f^-1(a) schreiben. Das wäre dann √(a - 1) - 2, für a größer oder gleich 1. Wir könnten aber auch ein x einsetzen. Wir können also einfach das y in x umbenennen. Dann würden wir f^-1(x) erhalten. Wir nennen y jetzt x. Du könntest es auch ganz anders nennen. f^-1(x) = √(x - 1) -2, für x größer oder gleich 1. Jetzt haben wir unsere Umkehrfunktion als eine Funktion von x. Versuchen wir, sie zu zeichnen. Der einfachste Weg ist, ein paar Punkte einzuzeichnen. Der kleinste Wert, den x annehmen kann, ist 1. Wenn du eine 1 hier einsetzt, erhältst du hier eine 0. Also liegt der Punkt (1|-2) auf unserer Umkehrfunktion. (1|-2) ist genau hier. Wenn wir 2 einsetzen, rechnen wir 2 -1 = 1. Die Wurzel davon ist 1. Dann rechnen wir -2 und erhalten -1. Also liegt der Punkt (2|-1) genau hier. Wenn wir 5 einsetzen, rechnen wir 5 - 1 = 4. Die Wurzel davon ist 2, 2 - 2 = 0. Der Punkt (5|0) ist also hier. Der Graph der Umkehrfunktion ist nur definiert für x-Werte größer oder gleich -1. Der Graph der Umkehrfunktion sieht also ungefähr so aus. Und genau wie in der Einführung zu Umkehrfunktionen sehen wir, dass sie Spiegelbilder entlang der Gerade y = x sind. Ich zeichne y = x ein, das ist diese Gerade hier. Sie sind Spiegelbilder entlang dieser Gerade. Hier drüben ordnen wir den Wert 0 dem Wert 5 zu. Wenn x = 0 ist, wird es der 5 zugeordnet. Hier ist es andersherum. Wir ordnen 5 dem Wert 0 zu. Dadurch sind sie Spiegelbilder. Wir haben einfach x und y getauscht.