Hauptinhalt

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 1

Lektion 7: Suche nach Umkehrfunktionen

Suche nach Umkehrfunktionen

Lerne wie du die Formel der Umkehrfunktion zu einer gegebenen Fuktion bestimmen kannst. Als Beispiel bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x+2.

Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander ,,umkehren''. Zum Beispiel, wenn

f

a

auf

b

abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion

f^{- 1}

b

auf

a

ab.

Oder mit anderen Worten,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

In diesem Artikle werden wir lernen, wie man die Formel der Umkehrfunktion bestimmen kann, wenn wir die Formel der ursprünglichen Funktion haben.

Bevor anfangen wir...

In diese Lektion werden wir die Umkehrfunktion von

f (x) = 3 x + 2

bestimmen.

Bevor wir das tun, denken wir zuerst darüber nach, wie wir

f^{- 1} (8)

bestimmen würden.

f^{- 1} (8)

zu bestimmen, müssen wir das Argument von

f

bestimmen, das einem Ergebnis von

8

entspricht. Wenn also

f^{- 1} (8) = x

, dann ist per Definition der Umkehrfunktion, dem Ergebnis

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Sei f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & Subtrahiere 2 von beide Seiten \\ 2 & = x & Dividiere beide Seiten durch 3 \end{aligned}

Also gilt

f (2) = 8

. Das bedeutet, dass

f^{- 1} (8) = 2

Suche nach Umkehrfunktionen

Was wir zuvor getan haben, um

f^{- 1} (y)

zu bestimmen, können wir für alle

y

vor allgemeineren.

f^{- 1} (y)

zu bestimmen, bestimmen wir das Argument von

f

, das

y

entspricht. Das gilt, da per Definition der Umkehrfunktion,

f (x) = y

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Sei f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & Subtrahiere 2 von beide Seiten \\ \frac{y - 2}{3} & = x & Dividiere beide Seiten durch 3 \end{aligned}

Also gilt

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Da die Wahl der Variablen willkürlich ist, können wir dies als

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

schreiben.

Da Umkehrfunktionen die Eingabe und die Ausgabe umkehren, ist ein anderer Weg

f^{- 1}

zu bestimmen

x

und

y

zuerst umzustelen dann nach

y

zu lösen, um die Umkehrfunktion zu schreiben.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Ersetze f(x) mit y \\ x & = 3 y + 2 & Tausche x und y aus \\ x - 2 & = 3 y & Subtrahiere 2 von beide Seiten \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Dividiere beide Seiten durch 3 \end{aligned}

Also gilt

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Beachte, die Ähnlichkeiten der beiden Methoden. In jedem Fall wird die Gleichung für die Variable gelöst, die nicht isoliert ist. Der Hauptunterscheid ist, dass die Variablen umgekehrt werden. (Die erste Methode macht dies am Ende, während die zweite Methode dies zuerst macht.)

Überprüfe dein Verständnis

1) lineare Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von $g (x) = 2 x - 5$ ‍.

g^{- 1} (x) =

2) kubische Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von $h (x) = x^{3} + 2$ ‍.

h^{- 1} (x) =

3) Kubikwurzel Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍.

f^{- 1} (x) =

Ersetze zuerst

f (x)

durch

y

und löse dann für

x

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & Ersetze f(x) mit y \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & Dividiere beide Seiten durch 4 \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & Erhebe beide Seiten in die dritte Potenz \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & Ersetze x mit f^{- 1} (y) \end{aligned}

Da die Wahl der Variablen willkürlich ist, können wir jetzt

y

mit

x

tauschen, um die Umkehrfunktion in Bezug auf

x

zu schreiben.

Also gilt

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

oder

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) rationale Funktionen

Bestimme die Umkehrfunktion von $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍.

g^{- 1} (x) =

Ersetze zuerst

g (x)

durch

y

und löse dann für

x

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Ersetze g(x) mit y \\ y (x - 2) & = x - 3 & Multipliziere beiden Seiten mit x-2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & Verteile \\ y x - x & = 2 y - 3 & Gruppiere den Term mit x auf einer Seite \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & faktorisiere ein x aus \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Dividiere beide Seiten durch by y-1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Ersetze x mit g^{- 1} (y) \end{aligned}

Da die Wahl der Variablen willkürlich ist, können wir jetzt

y

mit

x

tauschen, um die Umkehrfunktion in Bezug auf

x

zu schreiben.

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Challenge Aufgabe

Finde für jede Funktion das Inverse.

1

Du kannst dieses Problem lösen ohne die echte Umkehrfunktion zu bestimmen. Dazu mußt du dir übertragen, welche Operationen diese Funktion ,,umkehren''. Oder wendet das an, was wir zuvor gelernt haben, um das Problem zu lösen.

Funktion	Umkehrfunktionentyp
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Linear
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	Dritte Wurzel
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Rational
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	Quadratisch

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden

Sortiere nach:

Noch keine Beiträge.

Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.