Parabel-Brennpunkt und -Leitlinie - Wiederholung

Wiederhole dein Wissen über den Brennpunkt und die Leitlinie von Parabeln.

Was sind der Fokus und die Leitlinie einer Parabel?

Parabeln sind allgemein als die Graphen von quadratischen Funktionen bekannt. Sie können auch als die Menge aller Punkte angesehen werden, deren Entfernung von einem bestimmten Punkt (der Fokus) gleich ihrem Abstand von einer bestimmten Linie ist (die Leitlinie).

Möchtest du mehr über Fokus und Leitlinie einer Parabel erfahren? Schau dir dieses Video an.

Parabel-Gleichung aus Fokus und Leitlinie

Sind Fokus und Leitlinie einer Parabel gegeben, können wir die Gleichung der Parabel bestimmen. Betrachten wir zum Beispiel die Parabel, deren Fokus bei

(- 2 | 5)

liegt und deren Leitlinie

y = 3

ist. Wir beginnen mit einem allgemeinen Punkt auf der Parabel

(x | y)

Bei der Verwendung der Abstandsformel stellen wir fest, dass der Abstand zwischen

(x | y)

und dem Fokus

(- 2 | 5)

\sqrt{(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2}}

beträgt und der Abstand zwischen

(x | y)

und der Leitlinie

y = 3

gleich

\sqrt{(y - 3)^{2}}

ist. Auf der Parabel sind diese Abstände gleich:

\begin{aligned} \sqrt{(y - 3)^{2}} & = \sqrt{(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2}} \\ (y - 3)^{2} & = (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} \\ y^{2} - 6 y + 9 & = (x + 2)^{2} + y^{2} - 10 y + 25 \\ - 6 y + 10 y & = (x + 2)^{2} + 25 - 9 \\ 4 y & = (x + 2)^{2} + 16 \\ y & = \frac{(x + 2)^{2}}{4} + 4 \end{aligned}

Willst du mehr über das Bestimmen der Parabel-Gleichung aus Fokus und Leitlinie erfahren? Schau dir dieses Video an.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Schreibe die Gleichung für eine Parabel mit einem Brennpunkt bei $(6 | - 4)$ ‍ und einer Leitlinie bei $x = - 7$ ‍.

y =

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