Numerische Beziehungen mit polynomischen Identitäten beschreiben

In diesem Video nutzen wir unser Wissen darüber, was Polynome sind und wie wir sie bearbeiten, und ob zwei Polynome für alle Werte der in ihnen verwendeten Variable gleich sind, was bedeutet, dass es sich um eine polynome Identität handelt. Und wir benutzen diesen Wissen, um einige Eigenschaften von Beziehungen zwischen Zahlen zu beweisen. Ich schreibe also ein paar Integer auf. 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jetzt schreibe ich die Quadrate davon auf, und erstelle eine Reihenfolge von ganzzahligen Quadraten. 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25. Und wir könnten natürlich noch weitermachen. Aber bevor du ein Polynom aufschreibst oder kreierst, möchte ich, dass du dir diese Reihenfolge von ganzzahligen Quadraten anschaust. Siehst du ein Muster in Bezug auf die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Termen in dieser Reihenfolge ganzzahliger Quadrate? Lass uns darüber nachdenken. Von 0 zu 1 addieren wir 1. Von 0 zu 4 addieren wir 3. Von 4 zu 9 addieren wir 5. Von 9 zu 16 addieren wir 7. Es scheint ein Muster zu sein. Wenn wir diese aufeinanderfolgenden Terme in dieser Reihenfolge von ganzzahligen Quadraten betrachten, sehen wir, dass wir immer größer werdende ungerade Zahlen addieren. Wenn ich also hier 9, also die nächste ungerade Zahl, addiere, erhalte ich 25, was tatsächlich stimmt. Du kannst es ausprobieren. Was erhalte ich, wenn ich die nächste ungerade Zahl, nämlich 11, addiere? Ich erhalte 36, was das Quadrat von 6 ist. Aber woher wissen wir, dass das immer funktioniert? Wir könnten etwas allgemeiner darüber nachdenken, wobei uns Algebra und unser Wissen über Polynome weiterhelfen kann. Wir wollen das jetzt allgemein darstellen und verwenden die Zahl n. Die Zahl danach ist n + 1. Was sind die entsprechenden Terme in der Reihenfolge der ganzzahligen Quadrate? Für n ist es n². Für n + 1 ist es (n + 1)². Lass uns darüber nachdenken, was die Differenz von diesen beiden Dingen ist. Die Differenz von 25 und 16 ist 9. Die Differenz von 16 und 9 ist 7. Was ist also Differenz von (n + 1)² und n²? Und wie schreiben wir sie als Polynom? Es ergibt einfach (n + 1)² - n². Jetzt versuchen wir, das so zu schreiben und algebraisch zu bearbeiten, damit wir eine polynome Identität erhalten, die das soeben gesehene Muster beschreibt. Ich erweitere also (n + 1)². Es ergibt n² + 2n + 1. Dann haben wir noch -n² übrig. Wir sehen, dass n² - n² sich wegkürzt. Also können wir das nochmal umschreiben. Links haben wir (n + 1)² - n², also die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen in unserer Reihenfolge ganzzahliger Quadrate, die 2n + 1 für ganzzahlige n-Werte ergibt. Was ergibt 2n + 1 für alle ganzzahligen n-Werte? Insbesondere hier, wo wir es mit positiven Integern zu tun haben. Für alle ganzzahligen n-Werte erhalten wir einen ungeraden Integer. Wenn du einen beliebigen Integer nimmst und ihn mit 2 multiplizierst, ist dieser Teil gerade. Aber dann addierst du 1 dazu, wodurch du einen ungeraden Integer erhältst. Du siehst, dass sich das um 2 erhöht, wenn sich n erhöht. Wenn du also einen ungeraden Integer hast, addierst du 2 zu dem nächsten, ungeraden Integer, was genau hier beschrieben wird. Das ist sehr praktisch. Wir haben ein bisschen Algebra und unser Wissen über polynome Identitäten angewandt, um zu zeigen, dass die Differenz von aufeinanderfolgenden Termen in dieser Reihenfolge ganzzahliger Quadrate hier aus immer größer werdenden ungeraden Zahlen besteht.