Faktorisierung von Polynomen höheren Grades

Es gibt auf Khan Academy einige Videos über das Faktorisieren von Polynomen. In diesem Video wollen wir weitere Beispiele zum Faktorisieren höhergradiger Polynome behandeln. Wir beginnen mit einer Aufwärmübung. Wir wollen (6x^2 + 9x) (x^2 - 4x + 4) faktorisieren. Pausiere das Video und versuche, das in das Produkt mehrerer Ausdrücke zu faktorisieren. Jetzt machen wir es gemeinsam. Es ist vielleicht anders als das, was du bereits kennst, da es bereits teilweise faktorisiert ist. Dieses höhergradige Polynom ist bereits das Produkt zweier quadratischer Ausdrücke. Aber du erkennst wahrscheinlich, dass wir es weiter faktorisieren können. 6x^2 und 9x sind beide durch 3x teilbar. Also klammern wir hier 3x aus. Jetzt haben wir 3x vor der Klammer stehen. Womit multiplizieren wir 3x um 6x^2 zu erhalten? 3 ⋅ 2 = 6 und x ⋅ x = x^2. Womit multiplizieren wir 3x um 9x zu erhalten? 3x ⋅ 3 = 9x. Du kannst das überprüfen, indem du dieses 3x ausmultiplizierst. Du erhältst 6x^2 + 9x. Was ist mit unserem zweiten Ausdruck? Können wir ihn faktorisieren? Du erkennst vielleicht, dass es sich um ein perfektes Quadrat handelt. Du musst also zwei Zahlen finden, deren Produkt 4 und deren Summe -4 ist. Und diese beiden Zahlen sind -2 und -2. Wir haben also (x - 2), und können es als (x - 2)^2 oder auch (x - 2)(x - 2) schreiben. Falls dir dieser Prozess nicht bekannt vorkommt, empfehle ich dir, die Videos über das Faktorisieren von perfekten Quadraten anzuschauen. Weiter können wir nicht faktorisieren. Kommen wir zu einem etwas schwierigeren höhergradigen Polynom. Wir wollen x^3 - 4x^2 + 6x - 24 faktorisieren. Pausiere wie immer das Video und versuche, die Aufgabe allein zu lösen. Ich gebe dir einen kleinen Tipp. Du kannst in diesem Fall durch Gruppierung faktorisieren. Es ist etwas einfacher als das, was wir in der Vergangenheit gemacht haben. Als wir damals das Faktorisieren durch Gruppierung gelernt haben, hatten wir eine quadratische Formel, bei der wir uns den mittleren x-Term angeschaut haben. Diesen x-Term haben wir aufgeteilt, sodass wir vier Terme hatten. Hier haben wir bereits vier Terme. Versuche, das zu lösen. Jetzt machen wir es gemeinsam. Man kann ein Polynom dritten Grades nicht immer durch Gruppierung faktorisieren, aber manchmal schon, also sollte man das überprüfen. Wir schauen uns das Polynom also an, und überlegen, ob x^3 - 4x^2 einen gemeinsamen Faktor hat. Ja, weil x^3 und - 4x^2 beide durch x^2 teilbar sind. Was passiert, wenn wir ein x^2 ausklammern? Wir erhalten x^2(x - 4). Was ist mit den letzten beiden Termen? Haben 6x und -24 einen gemeinsamen Faktor? Ja, sie sind beide durch 6 teilbar. Also klammern wir eine 6 aus. Wir haben also + 6(x - 4). Du siehst, dass wir zwei verschiedene Terme haben, die beide mit (x - 4) multipliziert werden, also können wir (x - 4) ausklammern. Wir erhalten (x - 4)(x^2 + 6) und sind fertig.