Geometrische Reihen - Einführung

In diesem Video betrachten wir geometrische Reihen. Zum besseren Verständnis erstelle ich eine Tabelle, die uns zeigt, wie unser Geld anwächst, wenn wir z.B. $1000 pro Jahr auf ein Konto einzahlen. Hier haben wir das Jahr. Wir überlegen, wie viel wir am Anfang des Jahres haben, und das ist der Betrag auf unserem Konto. Die Bank zahlt uns einen Zinssatz von jährlich 5%, was ziemlich gut ist. Es ist schwierig, ein Konto zu finden, das einem tatsächlich 5% Wachstum pro Jahr bietet. Das bedeutet, wenn du $100 einzahlst, hast du exakt 1 Jahr später $105. Wenn du $1000 einzahlst, hast du 1 Jahr später $1050. Der Betrag wächst um 5%. Sagen wir mal, wir wollen jährlich $1000 einzahlen. Ich möchte herausfinden, wie mein Kontostand am Anfang von Jahr 1, 2, 3 usw. aussieht. Dann wollen wir einen allgemeinen Ausdruck für den Anfang von Jahr n finden. In Jahr 1 zahle ich am Anfang des Jahres $1000 auf das Konto ein. Das ist ziemlich einfach. Aber was passiert in Jahr 2? Ich zahle $1000 ein, habe aber auch noch die ursprünglichen $1000, die angewachsen sind. Ich zahle also $1000 ein, und die ursprünglichen $1000, die ich am Anfang von Jahr 1 eingezahlt habe, sind jetzt um 5% angewachsen. Wachstum um 5% ist dasselbe wie mit 1,05 zu multiplizieren. Wir rechnen also + $1000 ⋅ 1,05. Ziemlich einfach. Was haben wir am Anfang von Jahr 3? Wie viel habe ich am Anfang des Jahres 3 auf dem Konto, direkt wenn ich die Einzahlung mache? Pausiere das Video und versuche, die Antwort zu finden. Es ist genauso wie zu Beginn von Jahr 2 und Jahr 1. Wir zahlen $1000 ein, aber das Geld von Jahr 2 ist jetzt um 5% angewachsen, also haben wir $1000 ⋅ 1,05. Und das Geld, das wir ursprünglich in Jahr 1 eingezahlt haben, bei dem wir 1000 ⋅ 1,05 in Jahr 2 gerechnet haben, ist um weitere 5% angewachsen. Wir haben also + 1000 ⋅ 1,05 ⋅ 1,05. Wir wachsen um weitere 5%. Wir könnten diesen Teil hier als 1,05² scheiben. Siehst du das grundlegende Muster, das hier entsteht? Pausiere das Video und versuche, einen allgemeinen Ausdruck zu finden. Du kannst die Jahre dazwischen alle überspringen. Versuche, einen allgemeinen Ausdruck für das Jahr n zu finden. Im Jahr n zahlen wir zu Beginn die ursprünglichen $1000 ein, und dann rechnen wir 1000 ⋅ 1,05 für die $1000, die du am Anfang des Jahres (n - 1) eingezahlt hast. Und das geht immer so weiter bis hin zu + $1000 ⋅ 1,05, und schreibst in den Exponenten die Anzahl der Jahre, in denen verzinst wurde. Du kannst diese $1000 als die sehen, die du in Jahr 1 eingezahlt hast. Wie viele Jahre wurde der Betrag verzinst? Von Jahr 1 zu 2 haben wir eine Verzinsung von 1 Jahr. Von 1 zu 3 haben wir eine Verzinsung von 2 Jahren. Wenn wir also von dem Beginn von Jahr n sprechen, haben wir als Exponenten einen Wert, der 1 kleiner als n ist. Also ist unser Exponent (n - 1). Wir haben den Betrag für jedes dieser Jahre berechnet. Wir fragen uns, wie unser Kontostand zu Beginn von Jahr 3 aussieht, oder wie unser Kontostand zu Beginn von Jahr n aussieht. Das hier sind geometrische Reihen. Eine kleine Wiederholung: Reihen sind mit Reihenfolgen verwandt, und du kannst Reihen als Summen von Reihenfolgen betrachten. Eine Reihenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Wenn wir z.B. eine geometrische Reihenfolge haben, ist jeder nachfolgende Term das Produkt aus dem vorhergehenden Term und einer festgelegten Zahl. Wir fangen z.B. bei 2 an und multiplizieren immer mit 3. Wir haben also 2, 2 ⋅ 3 = 6, 6 ⋅ 3 = 18, 18 ⋅ 3 = 54. Das ist eine geometrische Reihenfolge, eine geordnete Liste von Zahlen. Wenn wir uns die geometrische Reihe anschauen, oder die, die hiermit vergleichbar ist, dann würden wir die Terme hier addieren. Das hier ist 2 + 6 + 18 + 54. Wir könnten es auch anders schreiben, so wie wir es eben bei dem Beispiel über das Sparen von Geld gemacht haben: 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 2 ⋅ 3³. Bei der geometrischen Reihe hast du also eine Summe, bei der jeder nachfolgende Term in dem Ausdruck, wenn du sie in Reihenfolge hast, das Produkt des vorhergehenden Terms und einer festgelegten Zahl ist. Der zweite Term ist gleich dem ersten multipliziert mit 3, und wir addieren sie in einer Reihenfolge. Hier ist sie. Es ist quasi eine geordnete Liste, aber hier addierst du die geordnete Liste. In diesem Beispiel haben wir also gesehen, was eine geometrische Reihe ist und warum sie nützlich ist. Das ist erst der Anfang. Wenn du dich weitergehend mit Finanzen beschäftigst, wirst du feststellen, dass geometrische Reihen überall auftauchen.