Besondere rechtwinklige Dreiecke - Beweis (Teil 1)

In diesem Video will ich einen Sonderfall von Dreiecken diskutieren, genannt 30-60-90° Dreiecke. Und ich denke, du weisst, warum sie so genannt werden. Die Maße seiner Winkel sind 30 Grad, 60 Grad, und 90 Grad. Und was wir in diesem Video beweisen werden, und dies wird ein sehr nützliches Ergebnis sein, mindestens für für eine Menge von dem, was du im Geometrie-Unterericht und dann später im Trigonometrie-Unterricht sehen wirs, ist das Verhältnis zwischen den Seiten im 30-60-90° Dreieck. Denke daran, die Hypotenuse ist gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Wenn der Hypotenuse Länge x hat, was wir werden beweisen, dass die kürzeste Seite, die ist gegenüber dem 30-Grad- Seite weist Länge x / 2, und daß die 60-Grad- Seite oder die Seite, die ist Gegenüber dem 60-Grad- Winkel, würde ich sagen, wird sich Quadratwurzel sein der 3-fache der kürzesten Seite. So Quadratwurzel von 3 mal x / 2, das wird seine Länge sein. Also das ist, wo wir hingehen in diesem Video zu beweisen. Und dann werden wir das in anderen Videos anwenden. Wir werden zeigen, dass dies tatsächlich ein ziemlich brauchbares Ergebnis ist. Lassen Sie uns nun mit einem Dreieck starten dass wir sehr vertraut mit. Lassen Sie mich also selbst zu zeichnen ein gleichseitiges Dreieck. So zeichnen Sie die Dreiecke ist immer der schwierige Teil. Das ist meine beste Chance auf ein gleichseitiges Dreieck. So nennen wir dieses ABC. Ich werde einfach davon ausgehen, dass ich konstruiert ein gleichseitigen Dreiecks. So gleichseitigen Dreiecks ABC. Und wenn es gleichseitigen, das bedeutet, dass alle seine Seiten sind gleich. Und lassen Sie uns sagen, gleichseitigen mit der Seitenlänge x. So, das wird sein, x, das wird x sein, und das wird x sein. Wir wissen auch, basierend auf, was wir von gleichseitigen gesehen Dreiecke vor, daß die Maßnahmen alle diese Winkel gehen, um 60 Grad. So, das wird bis 60 Grad, dies sein wird, 60 Grad, und dann das wird 60 Grad betragen. Nun, was ich tun werde, ich werde bis zu einer Höhe von diesen fallen oberen Punkt rechts hier. Also werde ich zu fallen eine Höhe hin, und per Definition Ich bin, wenn Konstruieren einer Höhe, es geht um die Basis schneiden hier in einem rechten Winkel. Also das ist, zu gehen ein rechter Winkel sein, und das wird ein rechter Winkel sein. Und es ist ein hübsches einfache Beweis um zu zeigen, dass nicht nur dies ist eine Höhe, es ist nicht nur senkrecht zu dieser Basis, aber es ist ein hübsches einfache Beweis zeigen, dass es durchschneidet die Basis. Und man konnte es zu unterbrechen, wenn Sie mögen und beweisen Sie sich. Aber es kommt wirklich aus der Tatsache , dass es einfach zu beweisen, dass diese beiden Dreiecke kongruent. Lassen Sie mich beweisen es für Sie. So nennen wir diese Punkt D rechts hier. So Dreiecke ABD und BDC, sie klar beide teilen diese Seite. Also dieser Seite ist üblich, beide von ihnen direkt über hier. Dieser Winkel rechts hier kongruent zu diesem Winkel drüben. Dieser Winkel rechts hier kongruent zu diesem Winkel hier. Und so, wenn diese beiden sind kongruent zueinander, dann wird der dritte Winkel zu kongruent zueinander. So richtig dieser Winkel hier muss kongruent zu sein Winkel gleich da drüben. So sind diese beiden deckungsgleich. Und so können Sie tatsächlich eine Vielzahl unserer Kongruenz postuliert. Wir könnten sagen, Seitenwinkelseitigen Kongruenz. Wir konnten zu verwenden Winkel-Seitenwinkel, irgendwelche von denen zu zeigen, dass Dreieck ABD ist kongruent Dreieck CBD. Und was das für uns tut, und wir nutzen könnten, wie gesagt, wir könnten Winkel-Seitenwinkel verwenden oder Seitenwinkel-Seite, was auch immer uns gefällt um für diesen Einsatz. Was das bedeutet für Uns ist es uns sagt, dass das entsprechende Seiten dieser Dreiecke gehen gleich zu sein. Insbesondere ist AD gehen gleich CD sein. Diese werden entsprechenden Seiten. So werden diese zu gehen werden zueinander gleich. Und wenn wir wissen, dass sie einander gleich sind, und sie sich zu x-- erinnern, diese war ein gleichseitiges Dreieck der Länge x-- wir wissen, dass diese Seite rechts hier, sein wird, x / 2. Wir wissen dies wird x 2 sein. Nicht nur, dass wir wissen, das, wir auch wusste, wenn wir fallen gelassen Diese Höhe, Wir haben gezeigt, dass dieser Winkel hat deckungsgleich zu sein, um diesem Winkel, und ihre Maßnahmen haben bis zu 60 hinzuzufügen. Also, wenn zwei Dinge sind die gleichen und sie summieren sich auf 60, dies sein wird 30 Grad sein und dies wird 30 Grad sein. So haben wir bereits eine dargestellt habe der interessantTeile eines 30-60-90 Dreieck, dass, wenn die hypotenuse-- Mitteilung und ich denke ich nicht weise darauf hin. Durch Fallenlassen dieser Höhe, ich habe im Wesentlichen aufgeteilt dieses Dreieck in zwei Dreiecke 30-60-90. Und so haben wir bereits gezeigt haben dass, wenn die gegenüberliegende Seite Die 90-Grad-Seiten x ist, daß die Seiten gegenüber dem 30-Grad- Seite sein wird, x / 2. Das ist, was wir haben gezeigt, Recht hier. Jetzt müssen wir nur noch zur dritten Seite kommen, die Seite, die gegenüber dem 60-Grad-Winkel ist. Ich werde einfach die Buchstaben verwenden dass wir bereits hier. Dies ist BD. Und wir können einfach die Pythagoras hier richtig. BD quadriert und diese Länge direkt über hier squared plus x / 2 squared wird gleich dem sein Hypotenuse quadriert. So bekommen wir BD Quadrat plus x / 2 Quadat-- dies ist aus dem Satz des Pythagoras .-- plus x / 2 quadriert Nahmen gleich diese Hypotenuse im Quadrat. Es ist gleich x gehen zum Quadrat. Und nur klar zu sein, bin ich sehen sich gerade dieses Dreieck rechts hier. Ich freue mich auf dieses Dreiecks Recht hier auf der rechten Seite, und ich bin nur Anwendung der Satz des Pythagoras. Diese Seite im Quadrat plus diese Seite im Quadrat ist gleich Hypotenuse zum Quadrat. Und jetzt lösen wir nach BD auf. Sie erhalten BD squared plus x quadriert über 4. x Quadrat als 4 ist gleich x quadriert. Sie könnten dies anzuzeigen als 4x Quadrat als 4. Das ist dasselbe, offensichtlich, quadriert als x. Wenn Sie 1/4 zum Quadrat von beiden Seiten, oder x quadriert über 4 von beiden Seiten, Sie BD quadriert wird gleich zu-- 4x squared mehr als 4 minus x mehr als 4 Quadrat ist sein wird 3x squared über 4. So ist es nur geht, um sein 3x squared über 4. Nehmen Sie die Haupt Wurzel beidseitig. Sie erhalten BD entspricht der Quadratwurzel von 3 mal x. Die Hauptwurzel von 3 Quadratwurzel der 3. die Hauptwurzel von x zum Quadrat ist nur x, über den Haupt Wurzel der 4, die 2 ist. Und BD ist die Seite gegen die 60-Grad-Seite. Also wir sind fertig. Wenn dieser Hypotenuse x ist, die Seiten gegenüber dem 30-Grad- Seite sein wird, x / 2, und die Seite gegenüber der 60-Grad-Seite ist die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 2 mal x, oder die Quadratwurzel von 3x geteilt durch 2, je nachdem, wie du das sehen willst.