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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 9

Lektion 6: Ermitteln einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen

Nach einer Seite auflösen in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie

Lerne, wie wir trigonometrische Funktionen nutzen, um eine unbekannte Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen.

Wir können trigonometrische Funktionen verwenden, um unbekannte Seiten in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.

Betrachten wir ein Beispiel.

Gegeben ist

△ A B C

, bestimme

A C

Lösung

Schritt 1: Bestimme die zu verwendende trigonometrische Funktion.

Wir konzentrieren uns auf den Winkel $B$ ‍, da dieser Winkel eindeutig im Diagramm gegeben ist.

Beachte, dass wir die Länge der $Hypotenuse$ ‍ gegeben haben, und wir sollen die Länge der $Gegenkathete$ ‍ des Winkels $B$ ‍ bestimmen. Das trigonometrische Verhältnis, das beide Seiten enthält, ist der Sinus.

Schritt 2: Erstelle eine Gleichung unter Verwendung der Sinusfunktion und löse sie für die unbekannte Seite.

$\begin{aligned} \sin (B) & = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} Sinus definieren. \\ \sin (50^{\circ}) & = \frac{A C}{6} Einsetzen. \\ 6 \sin (50^{\circ}) & = A C Beide Seiten multiplizieren mit 6. \\ 4, 60 & \approx A C Berechnen mit einem Taschenrechner. \end{aligned}$ ‍

Nun schauen wir uns ein paar Übungsaufgaben an.

Aufgabe 1

Gegeben ist $△ D E F$ ‍, bestimme $D E$ ‍.
Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.

Schritt 1: Bestimme die zu verwendende trigonometrische Funktion.

Hier haben wir die Länge der $Ankathete$ ‍ des Winkels $E$ ‍ und sollen die Länge der $Hypotenuse$ ‍ bestimmen. Die trigonometrische Funktion, die diese beiden Seiten enthält, ist der Kosinus.

Schritt 2: Erstelle eine Gleichung unter Verwendung der Kosinusfunktion und löse sie für die unbekannte Seite.

$\begin{aligned} \cos (E) & = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} Kosinus definieren. \\ \cos (55^{\circ}) & = \frac{4}{E D} Einsetzen. \\ E D \cdot \cos (55^{\circ}) & = 4 Beide Seiten multiplizieren mit E D . \\ E D & = \frac{4}{\cos (55^{\circ})} Beide Seiten dividieren durch \cos (55^{\circ}) . \\ E D & \approx 6, 97 Berechnen mit einem Taschenrechner. \end{aligned}$ ‍

Aufgabe 2

Gegeben ist $△ D O G$ ‍, bestimme $D G$ ‍.
Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.

Aufgabe 3

Gegeben ist $△ T R Y$ ‍, bestimme $T Y$ ‍.
Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.

Challenge Aufgabe

Mit welcher der folgenden Gleichungen kann in diesem Dreieck $z$ ‍ bestimmt werden?

Wir haben die Länge der Gegenkathete des Winkels

X

und wir sollen die Länge der Hypotenuse bestimmen. Die trigonometrische Funktion, die diese beiden Seiten enthält, ist der Sinus. Also

\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}

Da die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen

90^{\circ}

ergeben, wissen wir auch, dass

m ∠ I = 62^{\circ}

. In Bezug auf diesen Winkel kennen wir die Länge der Ankathete und sollen die Länge der Hypotenuse bestimmen. Die trigonometrische Funktion, die diese beiden Seiten enthält, ist der Kosinus. Also gilt

\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}

Die folgenden beiden Gleichungen können verwendet werden, um

z

zu bestimmen:

$\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

$\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

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