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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 10

Lektion 3: Volumen und Oberflächeninhalt

Volumenformeln - Wiederholung

Wiederhole die Formeln für Volumen von Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln und Kugeln

Auf den ersten Blick mag es so aussehen, als gäbe es eine Vielzahl von Volumenformeln, aber viele der Formeln haben eine gemeinsame Struktur.

Prismen und prismenähnliche Figuren

{Volumen}_{Prisma} = (Grundfläche) \cdot (Höhe)

Wir messen die Höhe eines Prismas immer senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche. Das ist auch dann richtig, wenn ein Prisma auf der Seite liegt oder gekippt ist (ein schiefes Prisma).

Quader

Oft lernen wir das Volumen zuerst anhand von rechteckigen Prismen (insbesondere von Quadern) kennen, z. B. indem wir ein Prisma aus Würfeln bauen.

Beachte, dass jede Fläche eines rechteckigen Prismas seine Basis sein kann, solange wir die Höhe des Prismas senkrecht zu dieser Fläche messen.

\begin{aligned} {Volumen}_{Quader} & = ({Flächeninhalt}_{Rechteck}) \cdot (Höhe) \\ = ((rechteckige Grundfläche) (rechteckige Höhe)) \cdot (Höhe des Prismas) \\ = l b h \end{aligned}

Dreieckprisma

Ein Dreiecksprisma hat eine Grundfläche in Form eines Dreiecks.

\begin{aligned} {Volumen}_{Dreiecksprisma} & = ({Flächeninhalt}_{Dreieck}) \cdot (Höhe) \\ = (\frac{1}{2} (dreieckige Basis) (Höhe des Dreiecks)) \cdot (Höhe des Prismas) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

Zylinder

Ein Kreiszylinder ist eine prismenähnliche Figur, die eine kreisförmige Basis hat.

\begin{aligned} {Volumen}_{Kreiszylinder} & = ({Flächeninhalt}_{Kreis}) \cdot (Höhe) \\ = (π \cdot (Radius)^{2}) \cdot (Höhe) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

Schräges Prisma

Bei schrägen Prismen liegen die Basen in parallelen Ebenen,

Aufgrund des Cavalieri-Prinzips berechnen wir das Volumen immer noch auf genau dieselbe Weise.

Welcher Ausdruck gibt das Volumen des schrägen Quaders an?

Pyramiden und pyramidenähnliche Figuren

{Volumen}_{Pyramide} = \frac{1}{3} (Grundfläche) \cdot (Höhe)

Wir messen auch die Höhe einer Pyramide senkrecht zur Ebene ihrer Basis. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips funktioniert die gleiche Volumenformel für rechtwinklige und schräge pyramidenartige Figuren.

Rechteckige Pyramiden

Eine rechteckige Pyramide, hat eine Basis, die wie ein Rechteck geformt ist.

\begin{aligned} {Volumen}_{rechteckige Pyramide} & = \frac{1}{3} ({Flächeninhalt}_{Rechteck}) \cdot (Höhe) \\ = \frac{1}{3} ((rechteckige Basis) (rechteckige Höhe)) \cdot (Höhe der Pyramide) \\ = \frac{1}{3} l b h \end{aligned}

Kegel

Ein Kreiskegel ist eine pyramidenähnliche Figur mit einer kreisförmigen Basis.

\begin{aligned} {Volumen}_{Kreiskegel} & = \frac{1}{3} ({Flächeninhalt}_{Kreis}) \cdot (Höhe) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (Radius)^{2}) \cdot (Höhe) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

Kugeln

{Volumen}_{Kugel} = \frac{4}{3} π (Radius)^{3}

Also gut, dass du fragst! Nehmen wir an, wir haben eine Kugel mit einem Radius von

r

. Wir schneiden sie senkrecht zum vertikalen Durchmesser der Kugel.

Nach dem Satz des Pythagoras ist der Radius

x

des Querschnitts der Kugel an einem Punkt

y

Einheiten vom Mittelpunkt entfernt:

x = \sqrt{r^{2} - y^{2}}

Also beträgt der Flächeninhalt der Kugel in dieser Höhe:

\begin{aligned} {Flächeninhalt}_{kreisförmiger Querschnitt} & = π \cdot x^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Es gibt eine weitere Figur, die in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt hat: ein rechtwinkliger, kreisförmiger Zylinder mit einem Radius von

r

und einer Höhe von

2 r

, von dem zwei kreisförmige Kegel entfernt sind. Jeder Kegel hat ebenfalls einen Radius von

r

und eine Höhe von

r

Der Radius des Zylinders in jeder Höhe ist

r

. Ähnlich ist der Radius des Querschnitts eines jeden Kegels an einem Punkt

y

Einheiten von der Spitze entfernt gleich

y

Also ist der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur in dieser Höhe:

\begin{aligned} {Flächeninhalt}_{ringförmiger Querschnitt} & = π \cdot r^{2} - π \cdot y^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Nach dem Cavalieri-Prinzip haben die Kugel und die zusammengesetzte Figur bei jeder Strecke

y

vom Mittelpunkt der Figur den gleichen Flächeninhalt, also haben die Figuren auch das gleiche Volumen.

\begin{aligned} {Volumen}_{zusammengesetzte Figur} \\ = {Volumen}_{Zylinder} - 2 \cdot {Volumen}_{Kegel} \\ = [π \cdot (Radius)^{2} \cdot (Höhe des Zylinders)] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot (Radius)^{2} \cdot (Höhe des Kegels)] \\ = [π \cdot r^{2} \cdot 2 r] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot r] \\ = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4}{3} π r^{3} \end{aligned}

Das Volumen der zusammengesetzten Figur ist

\frac{4}{3} π r^{3}

, also ist nach dem Cavalieri-Prinzip auch das Volumen der Kugel

\frac{4}{3} π r^{3}

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