Anspruchsvollere Ähnlichkeitsaufgaben

Aus dieser vorgegebenen Abbildung sollen wir die Länge der Strecke CF herausfinden. Man kann sich denken, dass es etwas mit ähnlichen Dreiecken zu tun hat, weil es zumindest so aussieht, als wäre Dreieck CFE ähnlich zu ABE. Man ahnt, dass es irgendwie in ihm eingeschlossen ist, und wir werden es uns beweisen. Es sieht auch so aus, als wäre Dreieck CFB ähnlich zum Dreieck DEB, aber auch das werden wir uns beweisen. Vielleichtk önnen wir dann die Verhätnisse der verschiedenen Seiten zu CF nutzen, um die Länge von CF herauszufinden. Zunächst beweisen wir, dass es ähnliche Dreiecke sind. Wir haben diesen 90°-Winkel in ABE, und wir haben den 90°-Winkel in CFE. Wenn man beweisen kann, das nur ein anderer Winkel oder ein Satz entsprechender Winkel in beiden Dreiecken kongruent ist, dann haben wir bewiesen, dass sie ähnlich sind. Wir können hier zeigen, dass beide diesen Winkel hier besitzen. Winkel CEF ist derselbe wie Winkel AEB. Wir haben also gezeigt, dass diese Dreiecke zwei übereinstimmende Winkel haben. Dieser Winkel liegt in beiden Dreiecken. Sie sind kongruent, also sind sie ähnlich. Man kann auch zeigen, dass diese Strecke parallel zu dieser Strecke ist, weil diese beiden Winkel offensichtlich gleich sind. Daher sind auch diese beiden Winkel gleich. Also sind es ähnliche Dreiecke, und das schreiben wir jetzt auf. Wir wissen, dass das Dreieck ABE ähnlich zu Dreieck CFE ist. Wir wollen sichergehen, dass wir die richtige Reihenfolge einhalten. F liegt am 90°-Winkel. B liegt am 90°-Winkel, und E liegt dort, wo der orangefarbene Winkel ist. Also CFE. Es ist ähnlich zu Dreieck CFE. Wir wollen nun versuchen, dasselbe mit dem Dreieck DEB zu machen. Auch hier haben wir einen 90°-Winkel. Wenn diese 90° sind, dann sind dies hier ebenfalls 90°. Wir haben einen 90°-Winkel hier bei CFB. Wir haben einen 90°-Winkel hier bei DEF oder DEB, wie immer man es nennen will. Sie haben also einen Satz übereinstimmender Winkel, sie sind kongruent, und man sieht, dass beide auch diesen Winkel in dem kleineren Dreieck besitzen. Ich betrachte jetzt dieses Dreieck hier, statt des rechten. Beide besitzen diesen Winkel hier. Winkel DBE idt derselbe wie Winkel CBF. Ich habe schon gezeigt, dass dieser Winkel kongruent zu diesem Winkel ist, und dieser Winkel liegt in beiden Dreiecken. Er ist offensichtlich kongruent zu sich selbst. Wir haben also zwei übereinstimmende Winkel, die kongruent zueinander sind. Wir wissen daher, dass dieses größere Dreieck ähnlich zu dem kleinen Dreieck ist. Ich schreibe es auf. Ich schiebe es etwas nach rechts. Wir wissen auch, dass das Dreieck DEB ähnlich zum Dreieck CFB ist. Was können wir damit anfangen? Wir wissen, dass die Verhältnisse übereinstimmender Seiten für jedes dieser ähnlichen Dreiecke gleich sein müssen. Aber wir kennen nur eine Seite eines Dreiecks. Im Fall von ABE und CFE kennen wir nur eine Seite. Im Fall von DEB und CFB kennen wir auch nur eine Seite, damit können wir nicht viel anfangen. Deshalb handelt es sich hier um ein etwas anspruchsvolleres Problem. Wir wollen versuchen, eine Vermutung über eine der Seiten anzustellen, und zwar am besten über eine Seite, die zu beiden großen Dreiecken gehört. Vielleicht werden sich die Dinge dann besser entwickeln. Wir nehmen an, dass diese Strecke hier - also die Strecke BE - gleich y ist. Ich schreibe es auf. Die gesamte Strecke ist gleich y, weil wir dann wenigsten etwas haben, mit dem wir arbeiten können. Sowohl ABE als auch DEB teilen sich y, also erscheint es sinnvoll. Dann müssen wir noch über die kleinen Dreiecke nachdenken. Dann müssen wir noch über die kleinen Dreiecke nachdenken. Wir bezeichnen BF mit x. Wir bezeichnen BF mit x. Und FE - nun, wenn dies s ist, dann ist dies y minus x. Wir haben jetzt einige Variablen eingeführt. Aber mithilfe der Proportionalitäten klären sich die Dinge vielleicht auf. Zumindest werden wir ein gewisses Gefühl dafür bekommen, wie weit wir mit diesem Problem kommen werden. Aber jetzt können wir beginnen, mit den ähnlichen Dreiecken zu arbeiten. Zum Beispiel wollen wir herausfinden, wie groß CF ist. Wir wissen, dass für diese beiden Dreiecke das Verhältnis übereinstimmender Seiten konstant ist. Zum Beispiel muss das Verhältnis zwischen CF und 9, der entsprechenden Seite, gleich dem Verhältnis sein zwischen y minus x - der rechten Strecke hier - und der zugehörigen Seite des großen Dreiecks. Die zugehörige Seite des großen Dreiecks ist diese gesamte Strecke. Und deren Länge ist y. Also ist es gleich dem Verhältnis von y minus x zu y. Wir können es etwas vereinfachen. Ich warte damit noch ein wenig. Wir wollen versuchen, etwas ähnliches mit der rechten Seite zu machen. Also noch einmal, wir haben CF und die zugehörige Seite in DEB. Wir betrachten jetzt das Dreieck CFB, nicht mehr das Dreieck CFE. Wenn wir dieses Dreieck betrachten, entspricht CF der Seite DE. Wir haben also CF zu DE ist gleich x zu - ich nehme eine andere Farbe. Es ist gleich x zu der gesamten Länge der Basis, also zu BE, das heißt zu y. also zu BE, das heißt zu y. also zu BE, das heißt zu y. Das sieht jetzt interessant aus, es sieht so aus, als hätten wir drei Unbekannte. Entschuldigung, wir kennen DE schon. Es ist 12. Ich kann hier schreiben CF durch 12. Das Verhältnis von CF zu 12 ist gleich dem Verhältnis von x zu y. Wir haben drei Unbekannte und nur zwei Gleichungen, es scheint nicht einfach zu sein, dies zu lösen. Hier ist eine Unbekannte, eine weitere Unbekannte, noch andere Unbekannte und noch eine Unbekannte. Es sieht aber so aus, als könnte ich dieses hier, diesen Ausdruck, durch x und y ausdrücken und dann können wir eine Substitution ausführen. Deshalb ist diese Sache ein wenig verzwickt. Dieses hier - ich schreibe es in der gleichen grünen Farbe. Dies können wir schreiben als CF durch 9 gleich y minus x durch y. Es ist dasselbe wie y durch y minus x durch y oder 1 minus x durch y. Ich habe nur den Bruch hier oben aufgelöst. Also y durch y minus x durch y oder 1 minus x durch y. Das ist nützlich, denn wir kennen x duch y bereits. Das ist nützlich, denn wir kennen x duch y bereits. wir wissen, dass x durch y gleich CF durch 12 ist. Dieses hier kann ich also durch CF durch 12 ersetzen. Wir sind bereits auf der Zielgeraden und erhalten CF, CF durch 9 ist gleich 1 minus CF durch 12. Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten und es sollte möglch sein, sie zu lösen. Wir addieren CF durch 12 auf beiden Seiten, und erhalten CF durch 9 plus CF durch 12 gleich 1. Wir müssen noch den gemeinsamen Nenner finden, ich denke, 36 wird gehen. 9 mal 4 ist 36, wenn man 9 mit 4 multipliziert, dann muss man auch CF mit 4 multiplizieren. Wir haben dann 4CF. 4CF durch 36 entspricht CF durch 9 und plus CF durch 12, was 3CF durch 36 entspricht. Und dies ist gleich 1. Wir haben dann 4CF plus 3CF, das ist 7CF durch 36 gleich 1. Um nach CF aufzulösen, multiplizieren wir beide Seiten mit dem Kehrwert von 7 durch 36. Also mit 36 durch 7. Multiplizieren beide Seiten mit 36 durch 7. Auf dieser Seite kürzen sich die Dinge weg. Übrig bleibt - jetzt kommt der Trommelwirbel. Diese Dinge sind herausgekürzt. CF ist gleich 1 mal 36 durch 7 oder einfach 36 durch 7. Dies war ein richtig gutes Problem, denn es zeigt: Wenn man zwei Dinge hat, angenommen, dies hier ist eine Art Stange oder Stab oder vielleicht eine Wand eines Gebäudes, oder was auch immer - wenn es 9 Fuß hoch ist oder 9 Yards oder 9 Meter, und dies hier, dieses andere, ist 12 Meter hoch oder 12 Yards oder welche Einheit man auch immer nutzt, und wenn man eine Schnur spannt von einen davon zur Basis des anderen, von der Spitze des einen zur Basis des anderen - ohne Berücksichtigung der Entfernung der beiden - denn wir haben nur gesagt, dass sie y entfernt sind. Ohne Berücksichtigung der Entfernung liegt die Stelle, an der sich die Schnüre schneiden, 36/7 hoch oder 5 1/7, egal, wie weit die beiden entfernt sind. Ich denke, das war eine sehr schöne Aufgabe.