Geometrie-Textaufgabe: Eine perfekter Pool-Wurf

Ein Billardtisch ist ein auf zwei Meter groß. Das ist ein Meter, also diese Strecke hier ist ein Meter lang. Die Strecke hier ist zwei Meter lang. Das ist zwei Meter hier. Er hat ingesamt sechs Löcher, vier davon in den Ecken zwei davon in der jeweiligen Mitte der zwei Meter Seiten zwei davon in der jeweiligen Mitte der zwei Meter Seiten Ein Spielball wird 0.25 oder ein Viertel Meter von der nördlichen und ein Viertel Meter von der westlichen Wand, also hier, platziert, das ist diese Distanz hier. Also es ist ein Viertel Meter entfernt von der nördlichen Wand. Das hier ist ein viertel Meter. Und diese Distanz hier ist ebenfalls ein Viertel Meter lang. Von der westlichen Wand. Die Winkel, die entstehen, während der Ball näher kommt und dann abgelenkt wird bilden ein Spiegelbild von einander. Hier kommen wir näher und dann prallen wir ab. Und diese sind Spiegelbilder. Würden wir uns einen Spiegel genau hier vorstellen so würden wir sehen, dass sie Spiegelbilder sind. Aus welcher Distanz x -- sie haben x hier angeschrieben -- aus der südöstlichen Ecke sollte der Spielball die östliche Wand treffen -- das hier ist die Distanz zu der südöstlichen Ecke -- damit der Spielball in das Loch im Mittelpunkt der südlichen Wand fällt? Und ich ermutige euch das Video zu stoppen. Und ich gebe dir einen Hinweis. Es könnte um ähnliche Dreiecke gehen. Also arbeiten wir das durch. Ein wichtiger Hinweis ist, dass das Näherkommen und Ablenken Spiegelbilder sein werden. Also wenn sie Spiegelbilder sind, ist dieser Winkel kongruent zu diesem Winkel. Wenn diese zwei Winkel kongruent sind, dann muss dieser Winkel, welcher den schwarzen Winkel ergänzt, kongruent zu diesem Winkel sein. Jeder dieser Winkel wird 90 Grad Minus der schwarze Winkel sein. Dieser Winkel ist also kongruent zu diesem Winkel. Wir können nun zwei rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Du kannst dir hier oben eins vorstellen, das ist das Größere. Das ist das rechtwinklige Dreieck für das Näherkommen. Die obere Seite ist parallel zu der Bande des Billardtisches. Und das hier ist unser rechtwinkliges Dreieck für das Abprallen. Und der Grund weshalb ich euch gezeigt habe, dass diese grünen Winkel kongruent sind, ist um zu zeigen, dass diese zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind. Wie wissen wir, dass sie ähnlich sind? Wennn wir zwei Winkel haben, beide haben einen 90 Grad Winkel und diesen grünen Winkel, dann muss der dritte Winkel ebenfalls gleich sein. Wenn du zwei Winkel kennst, dann weißt du auch wie groß der Dritte ist. Wenn zwei entsprechende Winkel zweier verschiedener Dreiecke kongruent sind, so werden die Dreiecke ähnlich sein. Dieses obige Dreieck ist also ähnlich zu dem unteren Dreieck. Und das hilft uns, weil das heißt dass das Verhältnisse der Längen der entsprechenden Teile dieser Dreiecke gleich sein werden. Also zum Beispiel, wir haben bereits gesagt, dass diese Strecke -- finden wir heraus was wir über diese Dreiecke wissen -- diese Strecke ist x . Wie ist lang ist diese Strecke? Was wird die Länge dieser Strecke sein? Denken wir ein wenig darüber nach. Wir wissen, dass diese Strecke ein Viertel Meter lang ist. Wir wissen, dass diese ganze Strecke ein Meter lang ist. Diese Strecke hier-- diese Strecke hier ist einen drei Viertel Meter lang. diese Strecke hier ist einen drei Viertel Meter lang. Wenn diese Strecke drei Viertel Meter ist, so wird dieser Teil hier drei Viertel Meter Minus x Meter sein. Ich schreibe das schnell auf. Drei Viertel Minus x ist diese Länge in Magenta. Was wissen wir noch? Wir wissen ganz sicher die Länge dieser Kathete hier. Wir wissen, dass die Löcher ein Meter von einander entfernt sind, das ist also ein Meter. Wir kennen auch die Länge dieser Kathete. Wir wissen, dass das ein Meter und das weitere drei Viertel Meter ist. Die ganze Länge beträgt ein und drei Viertel Meter. Oder wir könnten das auch als sieben Viertel Meter schreiben. Ich schriebe das folgendermaßen. Das ist sieben Viertel. Ich schreibe das als einen unechten Bruch weil ich das Gefühl habe, dass ich es bald mit Verhältnissen zu tun habe. Entsprechende Teile dieser zwei Dreiecke sind ähnlich, also werden entsprechende Teile die gleichen Verhältnisse haben. Diese grüne Kathete hier zum Beispiel ist die längere Seite, welche nicht die Hypothenuse des obigen Dreieckes ist. Das wird zur längeren Seite dieses Dreieckes entsprechen, welches nicht die Hypothenuse ist. Die Seiten die gegenüber diesem grünen Winkel liegen entsprechen sich. Also können wir sagen, dass das Verhältnis von sieben Viertel zu eins, das Verhältnis von sieben Viertel Meter zu einem Meter, gleich sein wird zu dem Verhältnis der Seiten die gegenüber der Winkel in Magenta liegen. Es wird also gleich drei Viertel Minus x geteilt durch x sein. Ich zeige nur, dass das Verhältnis der entsprechenden Seiten gleich ist. Lösen wir das nun nach x auf. Wenn wir beide Seiten mit x multiplizieren, kommen auf der linken Seite auf sieben Viertel x. Und auf der rechten Seiten haben wir noch drei Viertel Minus x übrig. Nun können wir auf beiden Seiten x dazu rechnen. Und wir erhalten sieben Viertel x Plus vier Viertel x was 11 Viertel x ist gleich drei Viertel. Um nach x aufzulösen können wir einfach beide Seiten mit dem Kehrwert des Koeffizienten multiplizieren also mal vier Elftel. Das ergibt x gleich drei Elftel Meter. Wenn wir drei Elftel Meter über der südöstlichen Ecke dieser Wand die Bande treffen, dann sollten wir in dieses Loch einlochen.