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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 3
Lektion 7: Quadratische Ergänzung- Quadratische Ergänzung
- Beispielaufgabe: Quadratische Ergänzung (Einführung)
- Quadratische Ergänzung (Einführung)
- Beispielaufgabe: Terme umschreiben durch quadratische Ergänzung
- Beispielaufgabe: Umschreiben und Lösen von Gleichungen durch quadratische Ergänzung
- Quadratische Ergänzung (Zwischenprodukt)
- Löse Gleichungen durch quadratische Ergänzung
- Beispielaufgabe: Quadratische Ergänzung (Leitkoeffizient ≠ 1)
- Quadratische Ergänzung
- Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen: keine Lösung
- Lösung quadratischer Gleichungen durch quadratisches Ergänzen
- Quadratische Ergänzung - Wiederholung
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Beispielaufgabe: Quadratische Ergänzung (Einführung)
Sal ergänzt x²-44x zu einem quadratischen Term. Erstellt von Sal Khan und Monterey Institut für Technologie und Bildung
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Video-Transkript
Vervollständige den quadratischen Ausdruck,
um den Wert für c zu finden, mit dem x^2 - 44x + c
ein perfektes quadratisches Trinom wird. Wir sollen also ein c finden, das den Ausdruck
zu einem quadratischen Trinom macht. Ein Trinom ist einfach ein Polynom
mit drei Termen, wie hier gegeben. Dann sollen wir diesen 3-gliedrigen Ausdruck
als Quadrat eines zweigliedrigen Ausdrucks umformen. Unser Ausdruck lautet
x² - 44x + c. Wie formen wir den nun zu
einem quadratischen Ausdruck um? Wenn wir uns an die typische Form
eines perfekten quadratischen Ausdrucks erinnern, sagen wir (x + a)^2, sagen wir (x + a)^2, ist das gleichwertig zu (x + a) x (x + a). Das haben wir bereits besprochen. Wenn du das weiter ausmultiplizierst,
erhälst du x mal x = x^2, also x Quadrat plus x mal a gleich ax, und nochmal a mal x gleich ax, plus a mal a, was a² ergibt. Insgesamt steht da also
x Quadrat + 2ax + a Quadrat. Insgesamt steht da also
x Quadrat + 2ax + a Quadrat. Aus dieser Form können wir nun folgendes ableiten: Wenn ich diese 2a hier halbiere und dann
weiter rechts zum Quadrat nehme, Wenn ich diese 2a hier halbiere und dann
weiter rechts zum Quadrat nehme, dann erhalte ich einen
perfekten quadratischen Ausdruck. dann erhalte ich einen
perfekten quadratischen Ausdruck. In unserem Übungsausdruck steht -44
an der Stelle, an der rechts 2a steht. Wenn wir den Ausdruck zu einem
perfekten quadratischen umformen wollen, Wenn wir den Ausdruck zu einem
perfekten quadratischen umformen wollen, dann muss -44 also 2a sein. dann muss -44 also 2a sein. c in unserem Ausdruck muss in dem Fall
dann a zum Quadrat entsprechen. c in unserem Ausdruck muss in dem Fall
dann a zum Quadrat entsprechen. Welchen Wert muss also unser a haben? Wenn wir wissen, dass -44 = 2a ist,
erhalten wir nach Teilen durch 2 den Wert -22. Damit wissen wir, dass
a den Wert -22 haben muss. den Wert -22. Damit wissen wir, dass
a den Wert -22 haben muss. Nochmal: -44 ist unser 2a,
ich teile -44 = 2a durch 2, Nochmal: -44 ist unser 2a,
ich teile -44 = 2a durch 2, und erhalte -22. Wann immer man einen quadratischen Ausdruck
vervollständigen muss, ist der Koeffizient vor x = 2a. Wann immer man einen quadratischen Ausdruck
vervollständigen muss, ist der Koeffizient vor x = 2a. Wenn wir nun a kennen,
was ist dann c? Nun, c muss a zum Quadrat sein,
damit der Ausdruck quadratisch wird. Nun, c muss a zum Quadrat sein,
damit der Ausdruck quadratisch wird. c muss also gleich (-22)^2 sein. Das können wir berechnen. Minus mal minus wird plus,
also können wir das Negativzeichen weglassen. Minus mal minus wird plus,
also können wir das Negativzeichen weglassen. 2 x 22 = 44, ich schreibe eine 0, 2 x 22 = 44, ich schreibe eine 0, 2 x 22 = 44. Wir erhalten 4 - 8 - 4, also 484. Wir erhalten 4 - 8 - 4, also 484. Wir können den Ausdruck also umformen zu:
x^2 - 44x + 484, und x^2 - 44x + 484
ist damit ein perfektes quadratisches Trinom. Wir könnten das auch anders schreiben, das ist x^2 - 2(-22) + (-22)^2. das ist x^2 - 2(-22) + (-22)^2. Wenn wir uns das nun genau betrachten,
wird es ziemlich klar, Wenn wir uns das nun genau betrachten,
wird es ziemlich klar, dass hier ein quadratischer Ausdruck steht,
den man wieder faktorisieren könnte. Das ist das selbe wie (x - 22) x (x - 22),
oder eben (x - 22) zum Quadrat. Das ist das selbe wie (x - 22) x (x - 22),
oder eben (x - 22) zum Quadrat. All diese Ausdrücke sind gleichwertig.