Quadratzahlen faktorisieren - Einführung

In diesem Video lernen wir das Erkennen und Ausklammern quadratischer Polynome. In diesem Video lernen wir das Erkennen und Ausklammern quadratischer Polynome. Nehmen wir z.B. dieses Polynom. Nehmen wir z.B. dieses Polynom. Man bittet uns, dieses in zwei Binome auszuklammern. Man bittet uns, dieses in zwei Binome auszuklammern. Wir wenden die Technik aus den vorherigen Videos an und versuchen, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 9 und deren Summe 6 ergibt. Wir wenden die Technik aus den vorherigen Videos an und versuchen, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 9 und deren Summe 6 ergibt. Wir wenden die Technik aus den vorherigen Videos an und versuchen, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 9 und deren Summe 6 ergibt. Bitte pausiere das Video und schau, welche zwei Zahlen in der Summe 6 und im Produkt 9 ergeben. Bitte pausiere das Video und schau, welche zwei Zahlen in der Summe 6 und im Produkt 9 ergeben. Bitte pausiere das Video und schau, welche zwei Zahlen in der Summe 6 und im Produkt 9 ergeben. 9 besitzt viele Faktoren: 1, 3 und 9. 9 besitzt viele Faktoren: 1, 3 und 9. 1 + 9 ergibt nicht 6. Genausowenig -1 + -9. Genausowenig -1 + -9. 3 * 3 ergibt jedoch 9 und 3 + 3 ergibt 6. 3 * 3 ergibt jedoch 9 und 3 + 3 ergibt 6. 3 * 3 ergibt jedoch 9 und 3 + 3 ergibt 6. Und so können wir das folgendermaßen ausklammern: Und so können wir das folgendermaßen ausklammern: Das ist dasselbe wie (x + 3)². Das ist dasselbe wie (x + 3)². An was können wir also erkennen, dass es sich um ein quadratisches Polynom handelt? An was können wir also erkennen, dass es sich um ein quadratisches Polynom handelt? An was können wir also erkennen, dass es sich um ein quadratisches Polynom handelt? An was können wir also erkennen, dass es sich um ein quadratisches Polynom handelt? Nun, wir haben natürlich eine Variable zum Quadrat. Nun, wir haben natürlich eine Variable zum Quadrat. Wir haben eine Quadratzahl als Konstante. Und was immer hier quadriert wird, habe ich doppelt als Koeffizienten in diesem Term ersten Grades hier. Und was immer hier quadriert wird, habe ich doppelt als Koeffizienten in diesem Term ersten Grades hier. Und was immer hier quadriert wird, habe ich doppelt als Koeffizienten in diesem Term ersten Grades hier. Schauen wir, ob das immer stimmt. Ich ändere dazu die Variablen, um euch zu zeigen, dass dies möglich ist. Nehmen wir z.B. dieses Polynom. Ich habe zunächst meine Variable im Quadrat, eine Quadratzahl als Konstante, das ist 7² hier. Ich habe zunächst meine Variable im Quadrat, eine Quadratzahl als Konstante, das ist 7² hier. Ich habe zunächst meine Variable im Quadrat, eine Quadratzahl als Konstante, das ist 7² hier. Ich habe zunächst meine Variable im Quadrat, eine Quadratzahl als Konstante, das ist 7² hier. Und der Koeffizient bei dem Term ersten Grades ist zweimal der Zahl, die quadriert wird. Und der Koeffizient bei dem Term ersten Grades ist zweimal der Zahl, die quadriert wird. Das ist 2 mal 7 bzw. 7 plus 7. Das ist 2 * 7 bzw. 7 + 7. Man kann also sofort sagen, dass das hier gleich (a + 7)² ist, wenn man ausklammert. Man kann also sofort sagen, dass das hier gleich (a + 7)² ist, wenn man ausklammert. Man kann also sofort sagen, dass das hier gleich (a + 7)² ist, wenn man ausklammert. Das können wir natürlich auch durch Ausmultiplizieren nachprüfen, indem wir berechnen, was (a + 7)² ergibt. Das können wir natürlich auch durch Ausmultiplizieren nachprüfen, indem wir berechnen, was (a + 7)² ergibt. Das können wir natürlich auch durch Ausmultiplizieren nachprüfen, indem wir berechnen, was (a + 7)² ergibt. Wenn man dies zum ersten Mal lernt, denkt man manchmal, dass das hier gleich a² plus 7² ist. Wenn man dies zum ersten Mal lernt, denkt man manchmal, dass das hier gleich a² plus 7² ist. Wenn man dies zum ersten Mal lernt, denkt man manchmal, dass das hier gleich a² plus 7² ist. Vorsicht! Zur Erinnerung, das ist dasselbe wie: (a + 7) * (a + 7). Zur Erinnerung, das ist dasselbe wie: (a plus 7) mal (a plus 7). Das kann man rechnen, indem man die sogenannte "ERML-Technik" anwendet Das kann man rechnen, indem man die sogenannte "ERML-Technik" anwendet Ich mag das eher nicht, da man hierbei keine mathematischen Überlegungen anstellt. Ich mag das eher nicht, da man hierbei keine mathematischen Überlegungen anstellt. Ich mag das eher nicht, da man hierbei keine mathematischen Überlegungen anstellt. Hier muss man das Distributivgesetz zweimal anwenden. Zunächst multipliziert man (a + 7) * a. Zunächst multipliziert man (a + 7) * a. Und dann (a + 7) * 7. Und dann (a + 7) * 7. Wir multiplizieren jetzt mit 7 aus. Nun sehen wir, woher die 14a kommen. Sie kommen von 7a plus 7a. Hier kommt das a² her. Und man sieht, woher die 49 herkommt. Man kann das hier in allgemeinen Bedingungen beschreiben. Wenn ich einfach mal den Ausdruck (a + b)² nehme, Wenn ich einfach mal den Ausdruck (a + b)² nehme, das ist einfach nur (a + b) * (a + b). Wir machen einfach dasselbe wie rechts, hier jedoch in sehr allgemeiner Darstellungsweise, Wir machen einfach dasselbe wie rechts, hier jedoch in sehr allgemeiner Darstellungsweise, mit a und b als Konstante bzw. Variable. mit a und b als Konstante bzw. Variable. mit a und b als Konstante bzw. Variable. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir also (a + b) * diesem a hier plus (a + b) * diesem b hier. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir also (a + b) * diesem a hier plus (a + b) * diesem b hier. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir also (a + b) * diesem a hier plus (a + b) * diesem b hier. Das ist a², nun wende ich einfach wieder das Distributivgesetz an. Das wäre die Allgemeinform. Wenn a die Variable ist, also x bzw. in diesem Fall a, dann wird hier irgendetwas quadriert und die Konstante ist 2 mal diesem Wert mal der Variablen. und die Konstante ist 2 mal diesem Wert mal der Variablen. Es gibt hier einige Variationen, mit denen man es ein wenig einfacher hat. Es gibt hier einige Variationen, mit denen man es ein wenig einfacher hat. Wenn man z. B. diese Polynom hat und jemand fragt, warum man das nicht ausklammert, und jemand fragt, warum man das nicht ausklammert, kann man sagen, dass das hier eine Quadratzahl, 5², ist. kann man sagen, dass das hier eine Quadratzahl, 5², ist. Ich habe hier die Variable zum Quadrat, und dann ist dieser Koeffizient unseres Terms ersten Grades gleich 2 mal 5. und dann ist dieser Koeffizient unseres Terms ersten Grades gleich 2 mal 5. So kann man sofort erkennen, dass das (5 + x²) ist. So kann man sofort erkennen, dass das (5 + x²) ist. Man kann das natürlich auch als Polynom x² + 10x + 25 schreiben. Man kann das natürlich auch als Polynom x² + 10x + 25 schreiben. In diesem Fall sagt man: Variable im Quadrat, eine Zahl zum Quadrat, 5², In diesem Fall sagt man: Variable im Quadrat, eine Zahl zum Quadrat, 5², 2 mal diese Zahl ergibt den Koeffizienten hier. Das ist also (x + 5)². Und das ist gut, da diese beiden Ausdrücke vollkommen identisch sind. Und das ist gut, da diese beiden Ausdrücke vollkommen identisch sind.