Abhängige Wahrscheinlichkeit Einführung

stell dir vor jemand würde dir ein etwas merkwürdiges spiel vorschlagen er würde sagen schau mal ich habe hier einen leeren beutel in den beutel ruhig rein drei grüne kugel und zwei rote kugel deine aufgabe ist es nun blind in diesen beuteln einzugreifen und eine kugel rauszuholen und dann nochmal rein zu greifen und eine andere kugel rauszuholen und wenn du dann am ende zwei grüne kugeln erwischt hast dann gewinnst du ein euro zwei grüne kugel das gibt dir ein gewinn der gewinn beträgt einen euro allerdings so mitspielen musste etwas zahlen spieleinsatz spieleinsatz er beträgt 35 cent also 0 35 euro die frage ist jetzt wenn du nur ans geld denkt würde sich das spiel für dich lohne würdest du bei diesem spiel wahrscheinlich gewinne nun du greifst der zweimal in diesem bereich wir können erst mal nachschauen wie groß die wahrscheinlichkeit ist beim ersten griff in diesem beutel eine grüne kugel zu erwischen also die wahrscheinlichkeit beim beim ersten zugriff grüne kugel zu erwischen schreiben dass man hier so abgekürzt beim ersten zugriff eine grüne kugel zu erwischen wie groß ist das wunder sie nach fünf kugeln drin und du kannst ja jeder dieser kugel mit gleicher wahrscheinlichkeit erwischen weiter im ersten zug das heißt du hast auf jeden fall fünf gleich wahrscheinliche ergebnisse gern von diesen fünf kugeln sind eher drei grün das heißt du hast drei ergebnisse die dieses ereignis hier erfüllen dass du nicht grüne buckel erwischt es heißt dass die wahrscheinlichkeit dafür beträgt also 35 das war die wahrscheinlichkeit wird den ersten griff jetzt kommt auch noch der zweite griff und das was wir eigentlich wissen wohl die wahrscheinlichkeit dass du beim ersten zugriff grün bekommst und dieses mathematische und symbol und beim zweiten zugriff auch grün bekommst darum geht er zwei mal grün brauchst du um diesen gewinn einzustecken also die wahrscheinlichkeit beim ersten mal und beim zweiten mal grün zu bekommen das interessiert uns eigentlich und die frage ist es ist das jetzt drei fünftel mal drei fünftel also 9 25 das würde voraussetzen dass beide ereignisse unabhängig voneinander sind also dass du beim zweiten mal rein greifen dieselben chancen hast wie man erst mal eingreifen das ist aber nicht der fall denn du hast ja diese grüne kugel schon raus genommen und nicht zurückgelegt das heißt der inhalt des beutels hat sich verändert bei einem zweiten versuch hier also hast du dann nicht die gleichen chancen die beiden ereignisse sind nicht unabhängig voneinander also hier dieses ereignis das hängt vom ergebnis des ersten versuches ab hängt vom ersten versuch ab das sind keine unabhängigen ereignisse deshalb kann ich jetzt nicht einfach 35 mal 35 grad rechnen da muss ich schon auch bei dem zweiten versuch noch mal genau hinschauen also wenn ich das nochmal um formulieren also das was ich suche ist dass ich beim ersten versuch eine grüne kugel in die hand bekomme und dann ja mal der wahrscheinlichkeit beim zweiten versuch eine grüne kugel in die hand zu bekommen unter der voraussetzung dass sich beim ersten versuch eine grüne erwischt habe sich der striche der soll so was seine erläuterung darstellen das heißt unter der voraussetzung dass ja dass der dass ich eben beim ersten versuch ersten versuch grün hatte unter der voraussetzung rechne ich diese zweiter wahrscheinlichkeit hier aus beim ersten mal grün das hat mehr gerechnet das war die wahrscheinlichkeit drei fünftel bei jedem drei grüne kugel in den beutel drin hab und insgesamt in den beutel fünf kugeln drin hier wenn ich den zweiten versuch startet das in die beutel ja nur vier kugeln seit grundsätzlich habe ich nur hier eine auswahl aus vier möglichen ergebnissen und wie viele davon sehen grün nun am anfang habe ich eine grüne ausgenommen deshalb sind nur noch zwei grüne drehen das heißt diese wahrscheinlichkeit beträgt 2 viertel und das muss ich es miteinander multiplizieren um eben die wahrscheinlichkeit für dieses kombinierte ereignis zu bekommen das wären dann gerade 620 oder drei zehntel oder kann ich auch sagen 30 prozent beträgt die wahrscheinlichkeit also 30 prozent ist die wahrscheinlichkeit zwei grüne kugeln aus dem beutel rauszuholen wie groß ist denn dann der erwartete gewinn der erwartete gewinn wäre dann ein euro x 30 prozent das ist die eine gewinn erwartungen die ich dann pro spiel hätte und das sind gerade 03 euro also 30 cent pro spiel würde ich erwarten zu gewinnen im durchschnitt über eine größere anzahl von spielen vergleiche ich dass es mit meinem spiel einsatz von 0 35 euro da stelle ich fest dass sie auf jeden fall über lange sicht verlieren würde weil ich weniger rauskriegen also hier pro spiel einzahler also solltest du sagen nein da spiele ich nicht das lohnt sich nicht für mich frage ist jetzt wenn die kugel nach dem ersten versuch zurückgelegt wurde wie sehen denn da deine chancen aus würde sich da das mitspielen lohnend für dich