Kombinationsformel

wenn man sich zum ersten mal mit dem unterschied von peer mutation und kombination auseinandersetzt dann mag das ganze so ein bisschen verwirrend sein und einem kopfschmerzen bereiten das war bei mir genauso ich hatte am anfang auch nicht den unterschied verstanden und ich hab mich verstanden wie sich das auswirken wie das zustande kommt aber sobald man ein bisschen darüber nachdenkt wird das eigentlich ganz einfach und deswegen würde ich sagen machen wir nochmal ein beispiel und wir nehmen wieder unsere altbekannten personen die sich in stühle setzen also in zukünftigen videos nehmen vielleicht mal andere beispiele aber wir nehmen wieder die personen a b c d e und f sechs personen und die wollen wir auf vier stühle aufteilen wir wollen wissen wie viele möglichkeiten gibt es die auf die stühle 1 2 3 und 4 aufzuteilen und was wir dafür immer gemacht haben das haben wir schon mehrere male gemacht ist wir haben gesagt okay sechs personen beim ersten stuhl kann eine beliebige dieser sechs personen sind sich hinsetzen das heißt wir haben hier sechs möglichkeiten da eine person hin zu setzen und in jeder dieser sechs möglichkeiten haben wir dann fünf möglichkeiten weil auf fünf personen übrig sind eine person auf den zweiten stuhl zu setzen das heißt wir haben schon sechs mal fünf möglichkeiten und sobald wir uns eine dieser sechs mal fünf möglichkeiten ausgesucht haben haben wir noch vier personen übrig und davon können wir eine auf den dritten stuhl setzen das heißt wir haben sechs mal 5 mal 4 und für jede situation ob jetzt auf den ersten zweiten und dritten studie schon eine person gesetzt haben für jede dieser situation haben wir jetzt noch drei personen übrig und davon können wir ein auf den vierten stuhl setzen das heißt wir haben insgesamt sechs mal fünf mal vier mal drei mögliche per mutationen und das haben wir dann auch aufgeschrieben als um das informel reinzukriegen haben wir das gemacht als 6 x 5 x 4 x 3 und dann noch mal zwei mal 1 damit das hier ganz runter geht bis 1 gut aber die zwei mal eins ist jetzt zu viel das heißt da müssen wir noch mal durch teilen weil so bald wieder durch teilen wird sich halt diese zweimaleins mit dieser zweimal in sveg kürzen und wir hatten wir werden nichts dazu bekommen es ist alles gleich geblieben deswegen auch das gleich als zeichen und das haben wir dann in eine allgemeine formel gepackt nämlich haben wir gesagt okay wir wollen von diesen ganzen zahlen beispielen weg wir machen eine allgemeine formel daraus und die lautete wenn wir and personal haben und wir wollen die anzahl der per mutation wissen wie wir diese npn personen auf gesetze aufteilen können also np mutation kann dann sind das genau in fakultät hier oben anders sechs fakultät geteilt durch n - fakultät in - k fakultäten das haben wir schon in den anderen videos hergeleitet uns überlegt warum das funktioniert und es war alles gut und wir haben auch festgestellt wenn man oben kurz ausrechnen wie viele personen das hier sind das sind sechs mal fünf sind 30 und 4 x 3 sind zwölf dann sind das hier insgesamt 360 personen wir haben auch festgestellt dass in diesen 360 personen jetzt zum beispiel nicht da hatte ich die person das sind 63 reihenfolgen diesen 360 reihenfolgen per mutation darin steckt zum beispiel die per mutation abc.de aber es steckt auch die per mutation drin bcd das heißt wir hätten jetzt hier schon mal zwei produktionen hier die erste die zweite und wir sehen die unterscheiden sich nur in ihrer reihenfolge ist setzten sich die gleichen personen auf diese vier stühle aber uns interessiert auch die reihenfolge das heißt bei den per mutationen kommt es auf die reihenfolge an und jetzt ist es natürlich nahe liegend zu fragen was ist denn wie viele möglichkeiten hätten wir hätten wir auch 360 möglichkeiten wenn uns diese reihenfolge gar nicht mehr interessiert wenn es nur noch interessiert wer sich auf stühle setzt und nicht daran und nicht uns nicht interessiert in welcher reihenfolge die jetzt ihre stühle noch stellen dann kommt nämlich in die welt der kombination und dafür wollen jetzt auch noch formel herleiten das heißt wir wollen jetzt wissen wenn wir essen haben und wir wollen die anzahl an kombinationen das kommt aus dem englischen to soder combination das wc geschrieben bei denen die kombination da die auf k sitze aufzuteilen wie können wir daraus jetzt eine formel machen und wir haben schon im letzten video bei einem beispiel gesagt sie gut hier in diesen 360 stecken ja zumindest schon mal alle möglichen gruppen drin das heißt wir nehmen das man als ausgangspunkt wir nehmen als ausgangspunkt hier diese allgemein hat gesagt diese cent fakultät geteilt durch k fakultät und jetzt haben wir gerade gesagt dass diese sachen teilweise mehrfach vorkommen also die kommen viel zu oft kommen die kommen mehrfach in diesem 360 vor und dieses mehrfache wollen wir jetzt wieder rückgängig machen und dafür ist natürlich erst mal wichtig nah wie oft kommen sie dann vor wie vielfach stecken die da drin also wie viele anzahl an ein paar mutationen gibt es wie viele anzahl an unterschiedlichen reihenfolgen ist das dann der mutationen diese vier personen beziehungsweise personen allgemein gesagt k personen auf k sitzen da sitzen anzuordnen und das können wir jetzt wieder ganz einfach herleiten und ihr könnt das auch versuchen das haben jetzt schon mehrmals gemacht das könnt ihr einfach mal kurz versuchen haltet das video an und probiert selbst aus gut dass wir dafür wieder brauchen ist wir sagen jetzt mal hier genau diese k sitze dass wir mit den ersten satz den zweiten sitz den dritten sitz und so weiter bis zum garten sitzt und wie viele möglichkeiten haben wir jetzt wir haben personen dann können wir einige personen auf den ersten sätzen das heißt wir haben kaum möglichkeiten der person noch den ersten sieg zu setzen und sobald diese person sitzt für jede dieser möglichkeiten haben wir dann kam - 1 möglichkeiten eine person auf den zweiten sitz zu setzen und das heißt wir haben ja schon kam alter -1 möglichkeiten und in jedem dieser möglichkeiten sitzen jetzt eine person auf dem ersten satz eine person aus dem zweiten sitz das heißt wir haben noch kam - zwei personen übrig und davon können wir eine auf den dritten sitz setzen und so weiter bis wir ganz am ende sind dann sitzen schon alle und nur noch ein stuhl ist frei und wenn du noch ein stuhl frei ist auch nur noch eine person frei naja dann haben wir auch nur noch eine möglichkeit eine person dahin zu setzen ist insgesamt ein wir stehen da mal kam - 1 mal kam es zwei mal kam - 31 uhr weiter bis zu 1 und das erinnert euch vielleicht anders nämlich genau an k fakultät es gibt ja fakultät möglichkeiten car personen auf k sitze anzuordnen oder anders gesagt jeder jede gruppe jede gruppe an personen kommt in unserem per mutation k fakultät vor dies steht k fakultät mal die person die die gruppe an personen abc.de drin nur halten unterschiedlichen reihenfolgen als abc.de als bac de als cd und so weiter das kommt das sind insgesamt k fakultät mal so stehen die da drin und deswegen müssen wir dieses k fakultät fache wieder raus teilen mitteilen also durch k fakultät damals haben wir das wieder rückgängig gemacht und jetzt können wir die formel noch mal kurz ein bisschen umschreiben ist karl fakultät kann man hier nenner rein das heißt wir haben da nur noch übrig n fakultät geteilt durch k fakultät das jetzt rein ist umgerechnet das hat nichts mehr mit mit inhaltlichem verständnis zu tun dass rein ist umgerechnet - k fakultät haben wir noch hier stehen und schon haben wir unsere formel und die gilt immer und weil diese formel so oft vorkommt weil die sich den heute so oft fragen wie viele möglichkeiten gibt es eine gruppe auszuwählen wurde die auch verkürzt auf geschrieben in dem die nominal koeffizienten und dafür machen wir eine große klammer und schreiben oben die engine und unten die car das ist einfach nur kurz schreibweise dafür und das gibt uns jetzt die anzahl an möglichen gruppen die wir haben wenn wir aus n personen eine große gruppe bilden also wenn wir aus der wn personen vor uns stehen haben und daraus wählen das gibt uns ist diese anzahl an und jetzt haben wir mathematisch was hergeleitet und überall stehen buchstaben und es war recht abstrakt und deswegen gehen wir mal zurück zu unserem zahlenbeispiel hier oben und in diesem zahlenbeispiel wird es uns jetzt interessieren wenn wir diese personen a b c d e f haben wie viele möglichkeiten haben wir daraus eine vierergruppe zu bauen das heißt wir haben sechs personen wie viele mögliche kombinationen gibt es bei denen eine vierergruppe zu machen und das können wir jetzt einfach mit dieser formel versuchen das heißt wir hätten hier oben als ändern die sechs stehen als k hätten dann die 4 und wir werden jetzt die formel nummer an und zu zeigen wie man die anwendet also wenn ihr wenn ihr euch nur merkt wie diese formel funktioniert wenn diese formel auswendig lernt dann ist das die beste art und weise zu vergessen warum sie funktioniert und wann sie funktioniert das heißt ihr müsst immer im hinterkopf behalten warum sie funktioniert das machen wir gleich wir haben jetzt also en fakultät müssen wir jetzt in den zeller schreiben das wären dann gerade dieses sechs fakultät geteilt durch k fakultät dass wir eine 4 fakultät mal und jetzt haben wir hier in klammern erstmal diese sechs - die vier fakultät fakultät und wenn wir das jetzt ausrechnen wollen dann können wir es mal diese sechs fakultät übernehmen die vier fakultät können wir auch übernehmen und was würde hier unten rauskommen was was würde hier rauskommen na ja das sind einfach 6 -4 das sind 2 und davon wollten wir noch die fakultät haben also mal zwei fakultät und das können wir uns wieder ausschreiben dann hätten wir stehen 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 das wäre diese sechs fakultäten teil durch dann haben wir vier fakultät also 4 x 3 x 2 x 1 x 2 fakultät also zwei mal 1 jetzt gehen wir mal gucken was ich alles weg kürzer also zweimal 1 kann man schon mal mit der zahl ihr weg kürzen dann können wir die 4 x 3 mit der firma drei weg kürzen und dann haben wir hier noch diese zwei also die einst die einst macht keinen unterschied wie können wir generell vergessen und diese zwei können wir vielleicht mit der sechs verrechnet 3 dann hätten wir hier stehen drei und dann wenn das hier drei mal fünf das sind 15 möglichkeiten die wir haben und noch mal was bedeutet dass es gibt jetzt 15 mögliche vierergruppen die wir bilden können wenn wir sechs leute zur auswahl haben und jetzt gucken wir uns wie gesagt nur mal eben die formel an warum hat das funktioniert na ja wir haben gesagt wir nehmen als ausgangspunkt nicht als ausgangspunkt nehmen wir hier dieses sechs fakultäten mal sex - vier geteilt die 64 fakultät ist es das hier und das waren genau die per mutation die wir haben also die anzahl an möglichkeiten wie wir eine vier hamburger bilden wenn uns innerhalb der vierergruppe noch die reihenfolge interessiert das sind dann 360 möglich und dann haben wir gesagt aber diese reihenfolge innerhalb der gruppen ist uns schlusspfiff egal wie wollen wir gar nicht wissen deswegen haben wir die da noch ausgenommen und das waren dann hier diese vier fakultät diese vier fakultät waren dann diese an zahlenreihen folgen innerhalb der gruppen und so sind wir jetzt eben zunehmend 15 gekommen und diese 15 sind jetzt sehr viel kleiner geworden als die 360 warum weil in den 15er ist nur noch die die anzahl an gruppen stehen nur noch stehen es gibt eine gruppe wo a b c und d drin sind und es steht nicht mehr da drin übrigens es gibt auch noch die gruppe mit pa cod oder mit b c und d oder mit bbd a und c das steht alles nicht mehr da drin das ist jetzt alles zusammengefasst zu einer gruppe und deswegen wurde das jetzt viel viel weniger deswegen dass nur noch 15 gruppen übrig und das leben dieser eigentliche unterschied zwischen per mutation hier oben und kombination hier unten bei der per mutation die wenden wir an wenn uns interessiert wenn es einen unterschied macht wie die leute innerhalb der gruppe sortiert sind und die kombination dann wenden wir an wenn uns nur interessiert ob die leute in der gruppe ist und wenn es die reihenfolge nicht mehr interessiert