Konstruieren von Exponentialmodellen: prozentuale Änderung

Chepi ist Ökologin und beobachtet die Veränderungen in der arktischen Narwal-Population im Laufe der Zeit. Sie hat beobachtet, dass die Population alle 2,8 Monate 5,6% ihrer Größe verliert. Die Narwal-Population kann von einer Funktion N dargestellt werden, die von der Zeit t (in Monaten) abhängig ist. Als Chepi ihre Beobachtungen begonnen hat, hat sie festgestellt, dass es 89.000 Narwale im Arktischen Ozean gibt. Konstruiere eine Funktion, die die Narwal-Population t Monate seit dem Beginn von Chepis Beobachtungen modelliert. Pausiere wie immer das Video, und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen, bevor wir es gemeinsam machen. Jetzt lösen wir sie gemeinsam. Es ist anfangs immer hilfreich, eine Wertetabelle zu erstellen, um interessante Werte für die Funktion zu finden, und zu sehen, wie sich die Funktion verhalten soll. t ist in Monaten angegeben, und N(t) steht für die Anzahl der Narwale. Wenn t = 0 ist, was ist dann N(0)? Wenn t = 0 ist, haben wir 89.000 Narwale im Ozean. Also 89.000. Was wäre noch ein interessanter Wert? t ist in Monaten angegeben, und wir wissen, dass die Population sich alle 2,8 Monate um 5,6% verkleinert. Wenn t = 2,8 ist, dann sollte sich die Population um 5,6% verkleinert haben. Eine Verkleinerung um 5,6% ist dasselbe, wie 94,4% zu behalten. Ich habe 100%. Wenn ich 5,6% verliere, bleiben 94,4% übrig. 0,6 + 0,4 bringen uns zu 95, + die restlichen 5 ergibt 100. Eine andere Formulierung für diesen Satz, dass die Population sich alle 2,8 Monate um 5,6% ihrer Größe verkleinert, ist, dass die Population alle 2,8 Monate auf 94,4% ihrer ursprünglichen Größe sinkt. Alle 2,8 Monate schrumpft die Population also um 5,6%, oder wir sagen, das sie 94,4% ihrer ursprünglichen Größe am Anfang dieser 2,8 Monate erreicht. Nach 2,8 Monaten multiplizieren wir also 89.000 mit 0,944 bzw. 94,4%. Nach weiteren 2,8 Monaten, wenn wir also 2 ⋅ 2,8 rechnen, was wir auch als 5,6 Monate schreiben könnten, was haben wir dann? Wir rechnen 89.000 ⋅ 0,944, das ist der Wert, den wir zu Beginn dieser Zeitperiode hatten, Jetzt haben wir 94,4% davon. Also multiplizieren wir wieder mit 94,4% bzw. 0,944, was wir als 0,944² schreiben können. Und nach drei dieser Zeitperioden multiplizieren wir wieder mit 0,944. Dann rechnen wir 89.000 ⋅ 0.944² ⋅ 0,944, was wir auch als 0,944³ schreiben können. Ich denke, du siehst, was hier los ist. Wir haben eine Exponentialfunktion. Alle 2,8 Monate multiplizieren wir mit dieser Basis 0,944. Wir können also unsere Funktion N(t) schreiben. Unser Anfangswert ist 89.000. Dann multiplizieren wir mit 0,944, in den Exponenten setzen wir die Anzahl der 2,8-Monats-Perioden, die bis jetzt vergangen sind. Wenn wir also die Anzahl der Monate nehmen, und durch 2,8 dividieren, erhalten wir die Anzahl der 2,8-Monats-Perioden, die vergangen sind. Wenn t = 0 ist, dann wird ganze Term hier 1, und wir erhalten 89.000. Wenn t = 2,8 ist, dann ist der Exponent 1, und wir multiplizieren einmal mit 0,944. Wenn t = 5,6 ist, dann wird der Exponent 2. Dann multiplizieren wir zweimal mit 0,944. Ich nehme gerade nur Werte, die den Exponenten ganzzahlig werden lassen, aber es funktioniert auch für die Werte dazwischen. Du kannst gerne einen Graphen zeichnen oder die Werte in einen Taschenrechner eingeben. Wir sind fertig. Wir haben die Narwal-Population modelliert. Ich unterstreiche die Funktion und das war's.