Einführung in Kegelschnitte

In diesem Video behandeln wir Kegelschnitte. Was sind Kegelschnitte und warum werden sie so genannt? Du kennst wahrscheinlich schon ein paar von ihnen und ich schreibe sie auf. Und zwar der Kreis, die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel. Du kennst sie bereits. Als ich zum ersten Mal von Kegelschnitten gehört habe, wusste ich was ein Kreis oder eine Parabel ist. Und ich wusste ein bisschen über Ellipsen und Hyperbeln. Warum um Himmels willen werden sie Kegelschnitte genannt? Ganz einfach: Weil sie der Schnittpunkt einer Ebene und eines Kegels sind. Ich zeichne das gleich mal auf. Aber vorher ergibt es wahrscheinlich Sinn, wenn ich sie erst mal einzeln zeichne. Wir wissen alle, was ein Kreis ist. So sieht ein Kreis aus. Alle Punkte sind abstandsgleich zur Mitte, und dieser Abstand ist der Radius. Wenn das also r ist, und das die Mitte, dann stellt der Kreis alle Punkte dar, die exakt r vom Mittelpunkt entfernt sind. Wir haben schon früh gelernt, was ein Kreis ist. Eine Ellipse ist umgangssprachlich ausgedrückt ein gequetschter Kreis. Sie kann ungefähr so aussehen. Eine Ellipse sieht zum Beispiel so aus. Sie kann auch geneigt und gedreht sein. Aber so sieht sie allgemein aus. Und Kreise sind eine besondere Art von Ellipse, die nicht in eine Richtung mehr als in die andere gestreckt sind. Ein Kreis ist auf jede Weise perfekt symmetrisch. Jetzt die Parabel. Du kennst Parabeln bereits, wenn du Algebra 2 hast. Eine Parabel sieht ungefähr so aus. Sie hat eine U-Form. Das ist eine klassische Parabel. Du kennst wahrscheinlich die Gleichungen dazu. y = x². Du kannst sie verschieben und sogar so eine Parabel haben. Das wäre x = y². Du kannst sie drehen, aber ich denke, du kennst die allgemeine Form einer Parabel. Wir reden später darüber, wie man sie zeichnet, oder welche interessanten Punkte eine Parabel hat. Die letzte Form kennst du vielleicht, es ist eine Hyperbel. Sie sieht beinahe wie zwei Parabeln aus, aber nicht ganz, da die Kurven weniger u-förmig und mehr geöffnet aussehen. Ich erkläre dir, was ich damit meine. Eine Hyperbel sieht normalerweise so aus. Ich zeichne zuerst die Achsen und ein paar Asymptoten. Das sind die Asymptoten und nicht die Hyperbeln. Aber eine Hyperbel sieht ungefähr so aus. Sie sind hier und kommen der Asymptote sehr nahe. Sie kommen diesen blauen Linien immer näher, auch auf dieser Seite. Die Graphen tauchen hier und dort auf. Diese roten Linien könnten eine Hyperbel sein. Es könnte auch so etwas wie eine vertikale Hyperbel geben. Sie würde ungefähr so aussehen, und unter der Asymptote hier sein. Dort ist sie über der Asymptote. Die blaue wäre eine Hyperbel, und die rote wäre eine andere Hyperbel. Das sind also die verschiedenen Graphen. Du fragst dich wahrscheinlich, warum sie Kegelschnitte genannt werden? Warum werden sie nicht anders genannt? Es ist sehr eindeutig, dass Kreise und Ellipsen miteinander verwandt sind, und dass eine Ellipse nur ein gequetschter Kreis ist. Und es sieht vielleicht so aus, als wären Parabeln und Hyperbeln irgendwie verwandt. Sie haben beide "-bel" in ihrem Namen und sie sehen beide wie geöffnete Us aus. Eine Hyperbel hat zwar zwei davon und öffnet sich in verschiedene Richtungen, aber sie sehen verwandt aus. Was ist die Verbindung zwischen allen? Daher kommt das Wort "kegelförmig". Ich zeichne mal einen 3D-Kegel. Das ist die Oberseite. Ich hätte auch eine Ellipse für oben verwenden können. Er hat eigentlich keine Oberseite. Er würde für immer in diese Richtung weitergehen. Ich schneide ihn nur auf, damit du siehst, dass es ein Kegel ist. Das hier ist die Unterseite. Jetzt schauen wir uns verschiedene Ebenenschnittpunkte in diesem Kegel an, und schauen, ob wir zumindest die verschiedenen Formen finden, über die wir gerade gesprochen haben. Das hier ist die Achse dieses dreidimensionalen Kegels. Wenn wir also eine Ebene haben, die exakt senkrecht zu dieser Achse ist, dann würde die Ebene ungefähr so aussehen. Das ist die vordere Linie, die dir am nächsten ist, und sie hat hier hinten noch eine Linie. Und es handelt sich natürlich um unendliche Ebenen, also gehen sie in alle Richtungen. Wenn diese Ebene direkt senkrecht zu dieser Achse ist, dann sieht der Schnittpunkt von Ebene und Kegel so aus. Wir schauen aus einem Winkel darauf, aber wenn du von oben darauf schauen würdest, oder ich den Kegel umdrehen würde, sodass wir auf die Ebene herabschauen, dann wäre dieser Schnittpunkt ein Kreis. Wenn wir jetzt die Ebene ein wenig neigen, dann haben wir so etwas hier. Dann haben wir so etwas und eine andere Seite, die so aussieht und ich verbinde sie. Das ist die Ebene. Der Schnittpunkt dieser Ebene ist jetzt nicht senkrecht zur Achse dieses dreidimensionalen Kegels. In zukünftigen Videos werde ich dir zeigen, wie der dreidimensionale Schnittpunkt aussieht, und beweisen, dass das auf jeden Fall stimmt. Du erhältst auf jeden Fall die Gleichungen, was ich dir noch zeigen werde. Dieser Schnittpunkt würde ungefähr so aussehen. Ich glaube, du kannst es dir jetzt vorstellen. Und wenn du von oben auf diese Ebene herabschaust, würde diese lilane Zeichnung ungefähr so aussehen. Es soll eine Ellipse sein. Du weißt, wie eine Ellipse aussieht. Und wenn ich sie zur anderen Seite neigen würde, dann wäre die Ellipse auf der anderen Seite gequetscht. Das soll dir zeigen, warum beide Figuren Kegelschnitte sind. Jetzt wird es interessant. Wenn ich diese Ebene weiter neige, und wir uns um diesen Punkt herum drehen, dann würde meine Ebene ungefähr so aussehen. Ich will durch diesen Punkt hindurch. Das ist meine dreidimensionale Ebene. Ich zeichne sie so, dass sie nur diesen unteren Kegel schneidet, und die Oberfläche der Ebene parallel zu dieser Seite des oberen Kegels ist. In diesem Fall schneiden sich die Ebene und der Kegel genau an diesem Punkt. Ich drehe mich quasi um diesen Punkt herum, an dem Schnittpunkt von diesem Punkt, der Ebene und dem Kegel. Dieser Schnittpunkt würde ungefähr so aussehen. Und er würde immer weiter nach unten gehen. Wenn ich ihn zeichne, sieht er so aus. Wenn ich von oben auf die Ebene herabschaue. Und so erhältst du deine Parabel. Das ist interessant. Wenn du mit einem Kreis beginnst, und ihn etwas neigst, erhältst du eine Ellipse. Du erhältst eine immer verzerrtere Ellipse. Und irgendwann wird die Ellipse immer mehr verzerrt. Und sie platzt genau dann auf, wenn du exakt parallel zu der Seite des oberen Kegels bist. Meine Zeichnung ist nicht sehr exakt. Sie platzt auf und wird zu einer Parabel. Eine Parabel hat also eine Verwandtschaft. Eine Parabel ist das, was passiert, wenn eine Seite einer Ellipse aufplatzt. Und wenn du diese Ebene immer weiter neigst, schneidet sie beide Seiten des Kegels. Das ist also meine neue Ebene. Wenn meine Ebene also so aussieht, und wir die Schnittstelle von dieser grünen Ebene und dem Kegel haben wollen, dann würde die Schnittstelle so aussehen. Sie würde den unteren Kegel hier schneiden, und den oberen Kegel dort. Und dann hast du so etwas. Das wäre die Schnittstelle von Ebene und unterem Kegel. Und hier oben wäre die Schnittstelle von Ebene und oberem Kegel. Denk daran, dass diese Ebene in jede Richtung unendlich weitergeht. Das ist nur eine allgemeine Erklärung, was Kegelschnitte sind und warum sie so genannt werden. Und sag Bescheid, falls die Zeichnung verwirrend ist, vielleicht zeichne ich in einem anderen Video etwas genauer. Vielleicht finde ich ein 3D-Programm, in dem es etwas besser aussieht. Das ist der Grund, warum sie alle Kegelschnitte sind, und warum sie alle miteinander verwandt sind. Und in späteren Videos werden wir das mathematisch vertiefen. Jetzt weißt du, warum sie Kegelschnitte heißen. Im nächsten Video geht es um ihre Formeln und wie du diese Formeln erkennst. Und wie du mit einer gegebenen Formel die Graphen dieser Kegelschnitte zeichnen kannst. Bis zum nächsten Video.