Quadratische Gleichungen lösen: Komplexe Wurzeln

Wir sollen 2x² + 5 = 6x auflösen. Wir haben also eine quadratische Gleichung. Wir formen sie jetzt aber in die Standardform um, weil sie uns vertrauter ist. Die Standardform lautet: ax² + bx + c = 0. Um diese Form zu erreichen, müssen wir die 6x von der rechten Seite entfernen. Damit wir rechts nur noch eine 0 stehen haben. Um das zu tun, subtrahieren wir einfach 6x von beiden Seiten dieser Gleichung. Dann steht auf unserer linken Seite: 2x² - 6x + 5. Auf der rechten Seite kürzen sich die beiden Terme weg, und es bleibt nur 0 übrig. Es gibt mehrere Wege, das zu lösen. Wir könnten faktorisieren. Wenn ich faktorisieren will, würde ich beide Seiten durch 2 dividieren. Wenn ich beide Seiten durch 2 dividieren würde, würde ich ganzzahlige Koeffizienten für die x²- und x-Terme, aber 5/2 für den konstanten Term bekommen. Es ist also keine Gleichung, die man einfach faktorisieren kann. Wir könnten die quadratische Ergänzung durchführen, oder die quadratische Formel anwenden, die einfach nur eine Formel ist, die von der quadratischen Ergänzung abgeleitet ist. Also machen wir das jetzt. Die quadratische Formel sagt uns, dass, wenn etwas in Standardform geschrieben ist, wie es hier der Fall ist, die Wurzeln davon -b + oder - (√(b² - 4ac)) / 2a ergeben. Wenden wir sie also auf unsere Situation an. Das hier ist b. Also ist -b = - - 6. Das ergibt also +6. (-6)² = 36. 6 + oder - √(36 - 4 ⋅ 2 ⋅ 5). All das geteilt durch 2 ⋅ a. a = 2, also 2 ⋅ 2 = 4. Das ergibt also 6 + oder - die Wurzel von... Ich rechne es erstmal aus. 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40. Also rechnen wir 36 - 40. Du fragst dich wahrscheinlich schon, was hier passiert. Und all das dividiert durch 4. Es ergibt 6 + oder - √-4, da 36 - 40 = -4 ergibt. All das dividert durch 4. Du merkst jetzt vielleicht, dass, wenn du von -4 die Quadratwurzel ziehst, eine imaginäre Zahl erhältst. Und das stimmt. Die einzigen beiden Wurzeln dieser quadratischen Gleichung hier werden komplexe Zahlen sein, da wir eine imaginäre Zahl erhalten werden. Wir werden also zwei komplexe Zahlen erhalten, wenn wir die positive und negative Version dieser Wurzel ziehen. Also machen wir das. √-4 = 2i. Woher wissen wir, dass es dasselbe wie 2i ist? √-4 ist dasselbe wie die √-1 ⋅ √4 und das ist dasselbe wie √(-1 ⋅ 4), und das ist dasselbe wie √-1 ⋅ √4. Die Quadratwurzel von -1 ist i. Und die Quadratwurzel von 4 ist 2. Das ergibt also 2i bzw. i ⋅ 2. Das hier ergibt also 2i. Es bleibt also x = (6 + oder - 2i) / 4 übrig. Und wenn wir es vereinfachen wollen, können wir den Zähler und Nenner durch 2 dividieren. Das ergibt also (3 + oder - i) / 2. Wenn du sie als zwei verschiedene, komplexe Zahlen schreiben willst, kannst du es auch als 3/2 + 1/2i schreiben. Das ist die positive Version des i. Wir könnten es auch als 3/2 - 1/2i schreiben. Das hier und diese beiden Terme sind äquivalent. Das hier sind die beiden Wurzeln. Jetzt will ich überprüfen, ob diese beiden Wurzeln stimmen. Diese hier kann ich umschreiben in (3 + i) / 2. Sie sind äquivalent. Du siehst, dass ich einfach nur beide durch 2 dividiere. Oder, wenn du 1/2 ausklammerst, kannst du die andere Schreibweise nehmen. Und dieser Ausdruck hier ist (3 - i) / 2. Oder du nimmst diese. Das hier ist (3 + oder - i) / 2. Also (3 + i) / 2. Oder (3 - i) / 2. Egal, ob das, das oder das. Sie sind alle gleichwertige Darstellungen derselben beiden Wurzeln. Schauen wir, ob sie stimmen. Ich teste zuerst diese Schreibweise. Es wird ein bisschen schwierig, da wir sie quadrieren müssen, etc. Schauen wir mal, ob wir es schaffen. Wir rechnen also 2 ⋅ ((3 + i) / 2))² + 5. Und wir wollen überprüfen, dass es dasselbe wie das Sechsfache dieser Menge ist, dasselbe wie 6 ⋅ ((3 + i) / 2). Was ergibt also 3 + i²? Ich quadriere das jetzt mal. 3² = 9, + 2 ⋅ das Produkt von 3 + i. 3 ⋅ i = 3i, 3i ⋅ 2 = 6i. Also + 6i. Falls das für dich keinen Sinn ergibt, ermutige ich dich, es z.B. mit dem Distributivgesetz auszumultiplizieren, und du wirst den mittleren Term 3i zweimal erhalten. Wenn du sie addierst, erhältst du 6i. Dann haben wir + i², und i² = -1. Also -1. Und all das wird dividiert durch 4. Und dann addieren wir 5. Wenn wir den Zähler und Nenner durch 2 dividieren, erhältst du hier eine 3 und hier eine 1. Und 3 ⋅ (3 + i) = 9 + 3i. Das hier drüben können wir vereinfachen, um etwas Platz zu sparen. 9 - 1 = 8. Dann steht hier oben noch 8 + 6i. Wir können den Zähler und Nenner hier durch 2 dividieren. Im Zähler steht dann 4 + 3i, nachdem wir durch 2 dividiert haben. Und der Nenner ist dann einfach nur 2. Diese beiden 2er kürzen sich weg. Auf der linken Seite bleibt also 4 + 3i + 5 übrig. Und das soll 9 + 3i ergeben. Du siehst, dass 3i auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Und 4 + 5 ergibt genau 9. Diese Lösung, 3 + i, ist also definitiv richtig. Versuchen wir es jetzt mit 3 - i. Die ursprüngliche Gleichung ist 2x² + 5 = 6x. Ich schreibe die ursprüngliche Gleichung nochmal auf. 2x² + 5 = 6x. Jetzt überprüfen wir, ob diese Wurzel funktioniert. Wir haben also 2 ((3 - i) / 2)² + 5 = 6 ((3 - i) / 2) Bisschen kompliziert. Aber wenn wir uns konzentrieren, sollten wir das richtige Ergebnis bekommen. Also (3 - i)². (3 - i) ⋅ (3 - i). Du kannst hier das Quadrieren von zwei Ausdrücken oder komplexen Zahlen üben. 3² = 9. 3 ⋅ (-i) = -3i. Dann hast du zwei hiervon. Also -6i. -i² ist ebenfalls -1. Es ist -1 ⋅ (-1) ⋅ i ⋅ i. Es ergibt also ebenfalls -1. (-i)² = -1. -i ist außerdem eine weitere Quadratwurzel. Nicht die traditionelle Quadratwurzel, aber eine der Quadratwurzeln von -1. Jetzt haben wir also -1, da wir (-i)² = -1 haben. Und all das dividiert durch 4, da 2² = 4 ist. Multipliziert mit der 2, die davor steht, + 5. Bevor ich die rechte Seite ausmultipliziere, kann ich den Zähler und Nenner durch 2 dividieren. 6 / 2 = 3. 2 /2 = 1. 3 ⋅ 3 = 9. 3 ⋅ (-i) = -3i. Wenn wir es weiter vereinfachen wollen, rechnen wir 9 - 1 = 8. Wir haben 8 - 6i. Wenn wir dann 8 - 6i durch 2 dividieren, und 4 durch 2 dividieren, erhalten wir 4 - 3i im Zähler. Und im Nenner haben wir eine 2. Wir haben Zähler und Nenner durch 2 dividiert. Dann haben wir eine 2 hier draußen, und eine 2 im Nenner. Die beiden kürzen sich weg. Also lässt sich dieser Ausdruck hier zu 4 - 3i + 5 = 9 - 3i vereinfachen. Wir haben auf beiden Seiten -3i stehen. Wir haben 4 + 5. Wir rechnen es aus. Links haben wir 9 - 3i, was genau dieselbe komplexe Zahl ist, die wir rechts stehen haben: 9 - 3i. Also ist es richtig. Es ist ebenfalls eine Wurzel. Wir haben also bestätigt, dass beide dieser komplexen Wurzeln die quadratische Gleichung erfüllen.