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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 11

Lektion 3: Bogenlänge (von Grad)

Anspruchsvolle Aufgabe: Kreisbogenlänge 1

Löse vier anspruchsvolle Aufgaben. bei denen du die Kreisbogenlänge bestimmen sollst, ohne dass das Kreisbogenmaß gegeben ist,

Aufgabe 1

In der Figur unten sind

\overset{―}{D B}

und

\overset{―}{A C}

die Durchmesser von Kreis

P

. Die Länge von

\overset{―}{P B}

sind

8

Einheiten.

Welche Länge hat der Kreisbogen $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Wir wollen die Länge des Teil des Kreisumfangs von Kreis

P

herausfinden, der bei Punkt

D

beginnt und bei Punkt

C

endet.

Wir berechnen zuerst den ganzen Kreisumfang, dann berechnen wir proportional den Kreisbogen, der sich auf die Gradzahl des Winkels bezieht.

Wir wissen dass Kreis

P

einen Radius von

8

Einheiten hat, weil

\overset{―}{P B}

ein Radius ist.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (8) \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

Das Kreisbogenmaß ist gleich dem Maß des Mittelpunktswinkels, der den Bogen schneidet.

\overset{―}{C A}

ein Durchmesser ist, sind

∠ C P D

und

∠ D P A

Ergänzungswinkel.

$m ∠ C P D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

Das Bogenmaß von

\overset{⌢}{D C}

beträgt

120^{\circ}

Zum Schluß können wir eine Zuordnung aufstellen, um den Teil des Kreisumfangs zu berechnen, der durch diesen Winkel unterbrochen wird.

$\begin{aligned} \frac{Bogenlänge}{Kreisumfang} & = \frac{Bogemaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{Bogenlänge}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Bogenlänge & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

Die Länge von

\overset{⌢}{D C}

beträgt

\frac{16}{3} π

Aufgabe 2

In der Figur unten beträgt der Radius des Kreises

P

6

Einheiten.

Welche Länge hat $\overset{⌢}{A B C}$ ‍?
* Gib entweder eine genaue Antwort in Bezug auf

π

an oder verwende den Wert

3, 14

für

π

und gib die Antwort als Dezimalzahl an.*

Wir wollen die Länge des Teil des Kreisumfangs von Kreis

P

herausfinden, der bei Punkt

A

beginnt, durch Punkt

B

geht und bei Punkt

C

endet.

Wir berechnen zuerst den ganzen Kreisumfang, dann berechnen wir proportional den Kreisbogen, der sich auf die Gradzahl des Winkels bezieht.

Wir wissen dass Kreis

P

einen Radius von

6

Einheiten hat, weil

\overset{―}{C P}

ein Radius ist.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (6) \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

Das Kreisbogenmaß ist gleich dem Maß des Mittelpunktswinkels, der den Bogen schneidet.

Das Maß von

\overset{⌢}{A B}

und

\overset{⌢}{B C}

ergeben addiert das Maß von

\overset{⌢}{A B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Zum Schluß können wir eine Zuordnung aufstellen, um den Teil des Kreisumfangs zu berechnen, der durch diesen Winkel unterbrochen wird.

$\begin{aligned} \frac{Bogenlänge}{Kreisumfang} & = \frac{Bogemaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{Bogenlänge}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Bogenlänge & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 12 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Die Länge von

\overset{⌢}{A B C}

beträgt

8 π

Aufgabe 3

In der Figur unten ist

\overset{―}{B C}

der Durchmesser von Kreis

P

. Die Länge von

\overset{―}{B P}

sind

3

Einheiten.

Welche Länge hat $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
* Gib entweder eine genaue Antwort in Bezug auf

π

an oder gib die Antwort als Dezimalzahl an, gerundet auf eine ganze Zahl.*

Wir wollen die Länge des Teil des Kreisumfangs von Kreis

P

herausfinden, der bei Punkt

A

beginnt, durch Punkt

C

geht und bei Punkt

D

endet.

Wir berechnen zuerst den ganzen Kreisumfang, dann berechnen wir proportional den Kreisbogen, der sich auf die Gradzahl des Winkels bezieht.

Wir wissen dass Kreis

P

einen Radius von

3

Einheiten hat, weil

\overset{―}{B P}

ein Radius ist.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

Mit Hilfe der Grafik sehen wir, dass wir den ganzen Kreis benötigen, bis auf den

35^{\circ}

Kreisbogen.

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

Das Maß von

\overset{⌢}{A C D}

beträgt

325^{\circ}

Zum Schluß können wir eine Zuordnung aufstellen, um den Teil des Kreisumfangs zu berechnen, der durch diesen Winkel unterbrochen wird.

$\begin{aligned} \frac{Bogenlänge}{Kreisumfang} & = \frac{Bogemaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{Bogenlänge}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Bogenlänge & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

Die Länge von

\overset{⌢}{A C D}

beträgt

\frac{65}{12} π

Aufgabe 4

In der Figur unten gilt

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. Die Länge von

\overset{―}{P B}

sind

4

Einheiten.

Welche Länge hat $\overset{⌢}{B C}$ ‍ auf Kreis $P$ ‍?.
* Gib entweder eine genaue Antwort in Bezug auf

π

an oder verwende den Wert

3, 14

für

π

und gib die Antwort als Dezimalzahl an, gerundet auf Hunderstel.*

Wir wollen die Länge des Teil des Kreisumfangs von Kreis

P

herausfinden, der bei Punkt

B

beginnt und bei Punkt

C

endet.

Wir berechnen zuerst den ganzen Kreisumfang, dann berechnen wir proportional den Kreisbogen, der sich auf die Gradzahl des Winkels bezieht.

Wir wissen dass Kreis

P

einen Radius von

4

Einheiten hat, weil

\overset{―}{P B}

ein Radius ist.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Das Kreisbogenmaß ist gleich dem Maß des Mittelpunktswinkels, der den Bogen schneidet.

Die Summe der Mittelpunktswinkel jedes Kreises sind

360^{\circ}

. Wir wissen, dass

∠ A P B

und

∠ B P C

kongruent sind.

$\begin{array}{r} m ∠ A P B + m ∠ B P C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 (m ∠ B P C) + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ m ∠ B P C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

Das Maß von

∠ B P C

beträgt

104^{\circ}

. Ebenso beträgt das Bogenmaß

\overset{⌢}{B C}

104^{\circ}

Zum Schluß können wir eine Zuordnung aufstellen, um den Teil des Kreisumfangs zu berechnen, der durch diesen Winkel unterbrochen wird.

$\begin{aligned} \frac{Bogenlänge}{Kreisumfang} & = \frac{Bogemaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{Bogenlänge}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Bogenlänge & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

Die Länge von

\overset{⌢}{B C}

beträgt

\frac{104}{45} π

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