Mit Gleichungssystemen rechnen

In einem früheren Video haben wir Äquivalenz bei Gleichungen behandelt. Äquivalenz bedeutet, dass es in der Algebra verschiedene Schreibweisen für äquivalente Aussagen gibt. Ein paar einfache Beispiele. 2x = 10 und x = 5 sind äquivalente Aussagen. Warum? Weil ein x-Wert nur dann eine erfüllt, wenn er die andere auch erfüllt. Du kannst überprüfen, dass in beiden Fällen x = 5 der einzige x-Wert ist, der beide Gleichungen erfüllt. Ein weiteres Beispiel: 2x = 8 und x = 4 sind äquivalent. Es sind äquivalente Gleichungen. Ein x erfüllt nur dann die erste, wenn es auch die zweite erfüllt. In diesem Video werden wir unser Wissen über Äquivalenz erweitern, indem wir über äquivalente Systeme nachdenken. Wenn du früher Gleichungssysteme gelöst hast, bist du bei Rechnungen einfach von Äquivalenz ausgegangen, aber hast vielleicht nicht auf diese Art darüber nachgedacht. Beginnen wir mit einem System. Dieses System sagt uns, dass es ein x-y-Paar gibt, bei dem 2x + y = 8 ergibt, und x + y = 5 ergibt. Wir können jetzt ein äquivalentes System haben, wenn wir eine dieser Gleichungen mit einer äquivalenten Version ersetzen. Vielleicht denkst du darüber nach, dass du, wenn du eine -2x hättest, die linke Seite addieren könntest. Ich erkläre noch, warum das ein Rechenschritt ist, der Äquivalenz erhält. Aber um hier eine -2 zu bekommen, müsstest du die gesamte Gleichung mit -2 multiplizieren. Wenn du also beide Seiten mit -2 multiplizierst, dann erhältst du -2x - 2y = -10. Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Warum? Weil jedes x-y-Paar, das eine davon erfüllt, die andere erfüllt bzw. ein x-y-Paar, erfüllt nur dann eine, wenn es die andere erfüllt. Wenn ich jetzt das System betrachte, in dem ich diese zweite Gleichung umgeschrieben habe, und meine erste Gleichung dieselbe ist, dann ist dieses System äquivalent zu unserem ersten System. Wenn ein x-y-Paar eines dieser Systeme erfüllt, dann erfüllt es auch das andere und umgekehrt. Dir fällt vielleicht beim Lösen etwas Interessantes auf. Das ist keine Einführung zum Lösen von Systemen, also nehme ich an, dass du es etwas kennst. Du kennst vermutlich das Eliminierungsverfahren, bei dem du die linke Seite zur linken und die rechte zur rechten addierst, damit die x-Werte wegfallen, und nur die y-Werte übrigbleiben. Wir kennen das bereits. Du willst quasi nach y auflösen. Aber in diesem Video geht es darum, warum du ein äquivalentes System erhältst, wenn du das tust. Um ein äquivalentes System zu kreieren, behalte ich meine erste Gleichung 2x + y = 8. Aber dann nehme ich meine zweite Gleichung und addiere dasselbe auf beiden Seiten. Addierst oder subtrahierst du bei beiden Seiten der Gleichung dasselbe, erhältst du eine äquivalente Gleichung. Also mache ich das hier. Aber es wird etwas interessant. Ich habe -2x - 2y = -10. Ich will nun 8 zu beiden Seiten addieren. So könnte ich es machen. Ich könnte 8 zu beiden Seiten addieren. Aber denk daran: Unser System sagt, dass beide dieser Aussagen wahr sind. Sowohl 2x + y = 8 als auch -2x - 2y = -10. Anstatt also 8 zu beiden Seiten zu addieren, könnte ich etwas addieren, dass für beide Seiten äquivalent zu 8 ist. Und ausgehend von dieser ersten Gleichung kenne ich etwas, dass äquivalent zu 8 ist. Ich kann links 8 addieren oder einfach nur 2x + y addieren. Also 2x + y. Halte das Video an und überlege, wieso du das machen kannst. Warum sage ich, dass du dasselbe zu beiden Seiten addierst? Denk daran: Wenn wir ein System haben, nehmen wir an, dass beide Aussagen wahr sein müssen. Ein x-y-Paar erfüllt eine der Gleichungen nur dann, wenn es die andere Gleichung ebenfalls erfüllt. Wir wissen, dass hier 2x + y = 8 sein muss. Wenn ich also 2x + y links addiere, und 8 rechts addiere, dann addiere ich quasi 8 zu beiden Seiten, was die Äquivalenz erhält. Und wenn du das machst, dann kürzen sich -2x und 2x weg, und du erhältst -y = -2. Also kann ich diese zweite Gleichung als -y = -2 schreiben. Du bist es vielleicht gewohnt, Gleichungssysteme zu lösen, indem du einfach beide addierst, und dann eine Gleichung erhältst. Und das ist mathematisch nicht sehr genau, weil die andere Gleichung immer noch da und eine Beschränkung ist. Oft löst man nach einer Gleichung auf, und ersetzt die andere damit. Aber eigentlich sind beide Gleichungen die ganze Zeit da. Du schreibst sie nur in äquivalenten Termen um. Nochmal: Dieses System, dieses System und dieses System sind alle äquivalent. Jedes x-y-Paar dass eins davon erfüllt, erfüllt alle und so weiter. Wir können wieder fortfahren, es in äquivalenten Termen umzuschreiben. Bei der zweiten Gleichungen kann ich beide Seiten mit -1 multiplizieren. Das erhält die Äquivalenz. Wenn ich das mache, habe ich an meiner oberen Gleichung 2x + y = 8 nichts geändert. Bei der zweiten multipliziere ich beide Seiten mit -1 und erhalte y = 2. Nochmal: Diese Systeme sind alle äquivalent. Ich weiß, ich wiederhole mich oft. Ich kann noch etwas machen, um die Äquivalenz zu erhalten, und herauszufinden, was dieses x-y-Paar ist. Wenn wir wissen, dass y = 2 ist, und wissen, dass das für beide Gleichungen gilt, denk dran, dass hier ein "und" steht. Wir nehmen an, dass es ein x-y-Paar gibt, das beide Gleichungen erfüllt. 2x + y muss 8 und y = 2 ergeben. Das bedeutet, dass wir für das y hier oben ein äquivalentes System schreiben können, bei dem wir anstatt y eine 2 schreiben können, da wir wissen, dass y = 2 ist. Also können wir bei der oberen Gleichung y durch 2 ersetzen. Wir können es also als 2x + 2 = 8 schreiben und y = 2. Das hier ist ein "und". Es ist implizit dort. Und wir können natürlich weitermachen. Ich kann noch ein äquivalentes System kreieren, indem ich hier oben äquivalenzerhaltende Rechnungen anwende. Was, wenn ich hier oben 2 von beiden Seiten subtrahiere? Es ist immer noch eine äquivalente Gleichung. Wenn ich also von beiden Seiten 2 subtrahiere, erhalte ich 2x = 6. Und die zweite Gleichung ist unverändert. y = 2. Es gibt also ein x-y-Paar, das eine erfüllt, wenn es die zweite erfüllt und umgekehrt. Dieses System ist äquivalent zu jedem System, das ich bis jetzt hier geschrieben habe. Bei dieser oberen Gleichung kann ich zur Bewahrung der Äquivalenz einfach beide Seiten durch den gleichen Wert zu dividieren, der nicht 0 ist. In diesem Fall dividiere ich beide Seiten durch 2. Wenn ich die obere Gleichung durch 2 dividiere, erhalte ich x = 3 und y = 2. Wie gesagt, das ist eine andere Betrachtungsweise. Ich schreibe dasselbe System äquivalent nur so um, damit es ein bisschen eindeutiger wird, welches x-y-Paar wir eigentlich haben. Früher dachtest du vielleicht, dass du beide Seiten einer Gleichung addieren, oder Eliminierung oder Substitution durchführen kannst, um den x- und den y-Wert herauszufinden. Aber eigentlich schreibst du das System um. Du schreibst die Beschränkungen des Systems äquivalent um, um es eindeutiger zu machen, welches x-y-Paar wir haben, dass beide Gleichungen des Systems erfüllt.