Festlegen, ob die Werte im Definitionsbereich sind

Wir sollen für jeden x-Wert herausfinden, ob er im Definitionsbereich von f liegt. f ist hier oben definiert. Halte das Video an und versuch, es alleine zu lösen, bevor wir es gemeinsam machen. Zuerst eine kleine Wiederholung. Wenn x im Definitionsbereich unserer Funktion liegt, bedeutet das, dass wir beim Einsetzen von x in unsere Funktion einen legitimen Output f(x) erhalten. Aber wenn f für einen x-Wert nicht definiert ist, oder einen undefinierten Status annimmt, dann wäre x nicht im Definitionsbereich. Wir probieren diese Werte jetzt aus. Ist x = -5 im Definitionsbereich von f? Mal sehen, was passiert, wenn wir f(-5) ausrechnen. Im Zähler haben wir -5 + 5. Wir ersetzen einfach jedes x durch -5. Wir haben also (-5 + 5) / (-5 - 3). In unserem Zähler haben wir 0, und in unserem Nenner erhalten wir -8. Du siehst vielleicht die 0 und machst dir Sorgen, aber es ist nur eine 0 im Zähler, also ergibt das alles einfach 0. Und das ist ein völlig legitimer Output. x = -5 liegt also im Definitionsbereich. Was ist mit x = 0? Liegt das im Definitonsbereich? Halte das Video an und finde es heraus. Bei f(0) haben wir im Zähler 0 + 5, und im Nenner 0 - 3. Das ergibt 5 im Zähler und -3 im Nenner. Es ergibt also -5/3. Auch ein völlig legitimer Output. Die Funktion ist bei x = 0 also definiert, also liegt er im Definitionsbereich. Was ist mit x = 3? Halte das Video an und finde es heraus. f(3) = ? Du siehst vielleicht schon Warnzeichen, was im Nenner passieren wird. Aber ich schaue mir alles an. Im Zähler haben wir 3 + 5. Im Nenner haben wir 3 - 3. Es ergibt also 8/0. Was ergibt 8 geteilt durch 0? Wir wissen es nicht. Es ist eines dieser faszinierenden Dinge der Mathematik. Es ist nicht definiert, was passiert, wenn wir etwas durch 0 teilen. 3 ist also nicht im Definitionsbereich. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert und nicht im Definitionsbereich. Nächstes Beispiel. Finde für jeden x-Wert heraus, ob er im Definitionsbereich von g liegt. Halte das Video an und versuche, es für alle 3 herauszufinden. Wenn x = -3 ist, erhalten wir ein legitimes g(x)? g(-3) = √(3 ⋅ (-3)), was √(-9) ergibt. Mit einer solchen normalen Wurzel wissen wir nicht, wie wir das ausrechnen. Also ist sie nicht im Definitionsbereich. Was ist mit x = 0? g(0) = √(3 ⋅ 0), was √0 ergibt, was 0 ergibt. Das ist also ein legitimes Ergebnis. Das ist also im Definitionsbereich. Was ist mit x = 2? Erhalten wir ein damit ein legitimes g(2)? g(2) = √(3 ⋅ 2), was √6 ergibt, und ein legitimer Output ist. x = 2 ist also im Definitionsbereich. Ein letztes Beispiel. Wir sollen herausfinden, ob diese x-Werte im Definitionsbereich von h(x) liegen. Halte das Video an und versuche, die Aufgabe zu lösen. Wir beginnen bei h(-1). Was ergibt das? Wir ersetzen jedes x mit -1. h(-1) = (-1 - 5)². Das ergibt (-6)², was 36 ergibt. Das ist ein legitimer Output, und eindeutig im Definitionsbereich. Was ist mit 5? h(5) = (5 - 5)². Du machst dir vielleicht Sorgen wegen der 0, aber wir wollen ja nicht durch 0 teilen. Wir quadrieren 0, was völlig in Ordnung ist. 0² = 0, also ist h(5) auf jeden Fall definiert und liegt im Definitionsbereich. Was ist mit h(10)? h(10) = (10 - 5)², was 5² ergibt, was 25 ist. Wieder ein völlig legitimer Output. Die Funktion ist für x = 10 eindeutig definiert. Wir sind fertig.