Funktionen mit exponentiellem Zerfall schreiben

Ein Handy kostet $600 und verliert jedes Jahr 25% seines Werts. Erstelle eine Funktion, die den Wert des Handys V(t), bei der der Wert also eine Zeitfunktion ist, t Jahre nachdem es verkauft wurde, angibt. Halte das Video und und versuche es, bevor wir die Aufgabe gemeinsam lösen. Lass uns darüber nachdenken. Ich erstelle zur Veranschaulichung eine Tabelle. Wir haben t und V(t) steht für den Wert des Handys als eine Funktion von t. Es wird für $600 verkauft. Wenn t = 0 ist, was ergibt dann V(0)? Es ergibt $600. Für so viel wird es bei t = 0 verkauft. Was passiert bei t = 1? Wir wissen, dass das Handy jährlich 25% seines Werts verliert. Anstatt zu sagen, dass es jährlich 25% seines Werts verliert, kann man auch sagen, dass es jährlich 100% - 25% seines Werts behält, also behält es jährlich 75% seines Werts. Wie viel ist es also nach 1 Jahr wert? Wir rechnen $600 ⋅ 75%. Was ist mit Jahr 2? Der Wert aus Jahr 1 wird wieder mit 75% multipliziert. Also rechnen wir $600 ⋅ 75% ⋅ 75%. Wir können es auch als (75%)² schreiben. Du siehst das Muster. Nach t Jahren ist der Wert unseres Handys 600 ⋅ (0,75)^t. V(t) = 600 ⋅ (0,75)^t. Fertig. Kommen wir zum nächsten Beispiel. Ein Biologe hat eine Probe mit 6000 Zellen. Der Biologe gibt ein Virus hinzu, das pro Woche 1/3 der Zellen tötet. Erstelle eine Funktion C(t), die die verbleibende Anzahl Zellen angibt, die Zellen sind also eine Zeitfunktion, t Wochen nachdem der Virus hinzugegeben wurde. Halte wieder das Video an und versuche, die Aufgabe zu lösen. Ich erstelle wieder eine Tabelle. Dieses Mal geht es um Wochen, und die Anzahl der Zellen C. Es handelt sich um eine Zeitfunktion. Bei t = 0 sind 0 Wochen vergangen und wir haben 6000 Zellen. Das ist eindeutig. Wie viele Zellen haben wir nach 1 Woche? Was ergibt C(1)? Wir wissen, dass das Virus wöchentlich 1/3 der Zellen tötet, was bedeutet, dass 2/3 der Zellen in der nächsten Woche noch leben. Nach einer Woche haben wir also 6000 ⋅ 2/3. Nach 2 Wochen haben wir 2/3 von der Zahl, die wir nach 1 Woche hatten. Also haben wir 6000 ⋅ 2/3 ⋅ 2/3, was wir auch als 6000 ⋅ (2/3)² schreiben können. Du siehst vermutlich wieder das Muster. Bei t = 0 haben wir 6000, dann multiplizieren wir pro vergangener Woche mit 2/3. Die verbliebenen Zellen als Zeitfunktion mit t in Wochen bestehen aus unserer ursprünglichen Menge multipliziert mit (2/3)^t. Wir sind fertig.