Äquvalente Brüche und verschiedene Ganze

Einen Bruch wie 1/3 könnte ich auch umschreiben. Ich multipliziere sowohl den Zähler und den Nenner mit zwei. Eins mal zwei ist zwei, und drei mal zwei ist sechs. Wir wissen also, dass ein Drittel das Gleiche ist wie zwei Sechstel. Ein Drittel ist nur eine andere Weise, zwei Sechstel zu sagen. Da wir das nun wissen, schauen wir doch mal hier drüben, welches Bild das am besten erklären könnte. Kann man das hier irgendwo sehen? Schauen wir mal bei der ersten Gleichung. Wir haben drei gleiche Abschnitte, also ist jeder dieser Abschnitte ein Drittel. Und einer dieser Drittel ist schattiert. Wenn wir auf die rechte Seite gehen, haben wir sechs gleiche Abschnitte, also in Sechstel geteilt, und zwei davon sind schattiert. Eins, zwei. Wir haben hier drüben das gleiche Rechteck zu Diritteln geteilt, wie wir es hier in Sechstel geteilt haben. Wir vergleichen Brüche desselben Ganzen. Wenn du diese beiden magentafarbenen Kisten nimmst und sie zusammensetzt, haben sie tatsächlich die gleiche Fläche wie dieses eine größere Rechteck. Das hier sieht also wie eine gute Bilderklärung aus oder eine visuelle Erklärung dafür, warum 1/3 gleich 2/6 ist. Du nimmst das gleiche Rechteck, teilst es in Drittel und nimmst eines davon. Dann nimmst du genau dasselbe Rechteck, teilst es in Sechstel und nimmst zwei davon. Somit hast du die gleiche Menge schattiert. 1/3 hier drüben ist das Gleiche wie 2/6 hier drüben. Das Wichtigste ist, dass du 1/3 und 2/6 des gleichen Rechtecks nimmst. Wenn du dir diese Zahlen ansiehst, bemerkst du, dass es sich um 1/3 von dieser Figur hier drüben handelt. Es ist in drei gleiche Abschnitte unterteilt. Schauen wir hier drüben. Das sind 2/6. Du hast sechs gleiche Abschnitte, wovon zwei schattiert sind. Und wir wissen, dass 1/3 gleich 2/6 ist, aber dieses Bild ist nicht wahr. Dieser schattierte Bereich hier drüben ist kleiner als der schattierte Bereich hier drüben. Du fragst dich also: "Warum funktioniert das nicht?" "Warum ist dieses 1/3 nicht das Gleiche wie 2/6?" Weil du 2/6 eines größeren Sechsecks nimmst. Hier nimmst du 1/3 einer kleineren Figur. Hier nimmst du 2/6 einer größeren Figur. Du kannst Brüche von verschiedenen Ganzheiten nicht vergleichen. 2/6 eines größeren Ganzen wird größer sein als 1/3 eines kleineren Ganzen. Das einzige Mal, dass 1/3 und 2/6 gleich sind, ist, wenn sie vom selben Ganzen sind, wie wir hier oben gesehen haben. Das ist also nicht wahr. Und was Ähnliches haben wir hier drüben. Hier 1/3 und das hier sind 2/6. Dies ist 1/3 eines kleineren Kreises als hier bei 2/6. Das ist also nicht wahr. Mit der gleichen Logik haben wir diese anderen Bilder hier drüben. Und hier drüben reden wir nicht über 1/3 und 2/6. Hier geht es um, zählen wir mal, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht. Wir sprechen also von Achteln. Und hier ist es eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs. Wir haben 6/8. Wir vergleichen es mit hier drüben, sie teilen sich in vier und sie haben drei schattiert. Es ist wahr, dass 6/8 gleich 3/4 ist. Sechs geteilt durch zwei ist drei. Acht geteilt durch zwei ist vier. Wenn du also den Zähler mit genau dem gleichen multiplizierst oder teilst, dann erhältst du einen äquivalenten Bruch. Jetzt ist 6/8 gleich 3/4, aber dieses Bild ist nicht wahr. Denn 6/8 wäre gleich 3/4, wenn du 6/8 und 3/4 der gleichen Größe nimmst, in diesem Fall der Raute. Diese Dinge sind nicht gleich groß. Die Aussage stimmt also nicht. Das Gleiche gilt hier. Diese Kreise sind unterschiedlich groß. Wenn du also denselben Bruchteil von verschiedenen Größen nimmst, kannst du nicht sagen, dass sie gleich sein werden. Beim letzten Beispiel nehmen wir die Bruchteile desselben Ganzen. Wir sehen hier diese Art Pfeil, der nach links zeigt. Und du siehst hier das Ganze aufgeteilt in Achteln. Sechs davon sind schattiert. Wir zählen: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs. Hier drüben haben wir es in Viertel geteilt, und wir haben drei davon schattiert. Diese Aussage ist also wahr. Wir wussten bereits, dass 6/8 und 3/4 das Gleiche sind. Aber dieses Bild zeigt uns, dass wir 6/8 des gleichen Ganzen nehmen wie bei 3/4, was wir hier drüben sehen. Diesen Bereich hier meine ich. Also den Bereich, den ich schattiere, sechs dieser Dreiecke mit gleicher Fläche sind dasselbe wie drei dieser Parallelogramme, oder drei der vier. Sie haben die gleiche Fläche, wie du sehen kannst. Einer von ihnen, wie der gleich da drüben, könnte gleichwertig mit dem hier drüben sein, gleichwertig mit dem da drüben. Lass mich das für alle machen. Das hier drüben könnte gleichbedeutend sein mit, mal sehen, wenn du es umdrehst, wäre es gleichbedeutend mit dem da drüben. Und schließlich, ich denke, siehst du, worauf das hinausläuft, Das hier drüben ist gleichwertig mit dem hier drüben. Wir haben also denselben Bruchteil schattiert. Wir haben links in mehr gleiche Teile geteilt als auf der rechten Seite, aber es sind gleichwertige Brüche. Und dieses Bild zeigt uns, dass 6/8 in der Tat gleich 3/4 ist. Noch einmal: 6/8 eines Ganzen ist das Gleiche wie 3/4 desselben Ganzen.