U-Substitution

Nehmen wir an wir haben das uneigentliche Integral, und die Funktion ist 3x hoch zwei plus 2x mal e hoch x hoch 3 plus x hoch 2 dx. Also, wie würden da ran gehen um es zu lösen? Wenn man es sich zuerst ansieht, dann scheint es ein ziemlich kompliziertes Integral zu sein; wir haben dieses Polynom hier, das mit diesem exponentiellen Ausdruck multipliziert wird und da drüben im Exponenten haben wir prinzipiell ein weiteres Polynom. Sieht ziemlich verrückt aus. Und die Schlüsselidee hier, der Schlüssel ist, dass man hier eine Technik verwenden kann, die u-Substitution heißt. Und ich werde auch gleich erzählen wie ich erkennen würde, dass wir die u-Substitution benutzen müssen und mit der Zeit, schafft man es, solche Sachen im Kopf zu machen. U-Substitution löst prinzipiell die Kettenregel auf. In der Kettenregel... Ich werde das in einem anderen Video näher behandeln, wo ich wirklich über die Ideenfindung rede. Aber was ich mir überlegen würde, naja ich habe diesen verrückten Exponenten hier, ich habe x hoch 3 und x hoch 2. Und das Ding hier drüben ist genau die Ableitung von x hoch 3 + x hoch 2. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x hoch 2; die Ableitung von x hoch 2 ist 2x, was ein wichtiger Hinweis für mich ist, dass ich die u-Substitution benutzen kann. Also was ich hier mache ist, dieses Ding wo dieser kleine Ausdruck hier, wo ich auch sehe, dass seine Ableitung multipliziert wird, ich kann das gleich u setzten. Also kann ich sagen: "u ist gleich x hoch 3 plus x hoch 2." Nun, was wird die x-Ableitung von u sein? du nach dx (naja, das haben wir schon öfter gemacht) wird sein: 3x hoch 2 plus x hoch 2, und jetzt können wir das in Differentialform schreiben. Und du nach dx ist nicht wirklich ein Bruch der Ableitung von u geteilt durch die Ableitung von x, es ist tatsächlich eine Form der Notation. Aber es ist oft nützlich irgendwie so zu tun als sei es ein Bruch. Und man könnte es so sehen, wenn man nur du haben möchte wenn man nur diese Differentialform da drüben haben will, wie verändert sich u, wenn sich x verändert, man kann beide Seiten mit dx multiplizieren. Und so, wenn wir so tun als sei es ein Bruch, und es wird die richtige Differentialform ergeben, bleibt nur übrig, dass du gleich 3x hoch 2 plus 2x dx ist. Warum steht das jetzt da, warum habe ich mir dafür die Mühe gemacht? Naja, wir sehen, wir haben hier 3x hoch 2 plus 2x, und es wird mit dx multipliziert. Ich kann das ursprüngliche Integral als ein Integral von --lasst mich das in Farbe machen-- von 3x hoch 2 plus 2x mal dx mal e --lasst mich das in einer anderen Farbe machen-- mal e hoch x hoch 3 plus x hoch 2. Was jetzt interessant daran ist, naja dieser Teil hier in lila ist genau gleich du. Und dieser Teil hier oben, x hoch 3 plus x hoch 2, das war wie ich gesagt habe, gleich u. Das hier ist gleich u. Also kann ich mein ganzes Integral neu schreiben-- und jetzt erkennt ihr vielleicht warum es uns die Sache um Einiges einfacher machen könnte-- es wird gleich sein zu, und ich werde es in anderer Reihenfolge hinschreiben. Ich setzte das du, das ganze du, das setze ich hier auf die andere Seite so sieht es mehr nach der Standardform aus, die wir in unseren uneigentlichen Integralen gewöhnt sind, also wird es sein, wir haben unser du mal e hoch u. Und was wird jetzt bzgl. u die Aufleitung davon sein? Naja, die Ableitung von e hoch u ist e hoch u; die Aufleitung von e hoch u ist e hoch u. Also wird es gleich e hoch u sein, es ist noch Möglich, dass da eine gewisse Konstante steht, also lasst mich das hinschreiben. Also plus C. Und jetzt, um es bzgl. x zu bekommen, müssen wir nur das u zurück substituieren. Wir wissen was u ist. Also können wir sagen, dass das gleich e --anstatt u zu schreiben, können wir sagen u ist x hoch 3 plus x hoch 2. Und dann haben wir noch unser plus C. Und wir sind fertig! Wir haben die Aufleitung gefunden. Und ich ermuntere euch dazu das abzuleiten, und ich denke ihr werdet feststellen, dass ihr die Kettenregel benutzt und dahin zurück kommt was wir hier hatten.