Randverhalten von rationalen Funktionen

Wir haben die Funktion f(x) und sie besteht aus diesem rationalen Ausdruck. Gegen was strebt f(x), wenn x gegen -∞ strebt? Wenn x also immer negativer wird, gegen was strebt dann f(x)? Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und zu versuchen, die Aufgabe selbst zu lösen. Immer wenn ich das Verhalten einer Funktion betrachte, bei der x stark positiv oder negativ wird, schreibe ich sie um. Ich schreibe sie nochmal neu auf. f(x) = (7x² - 2x) / (15x - 5). Wenn wir herausfinden wollen, was mit den verschiedenen Termen passiert, wenn x stark positiv oder negativ wird, ist es eine gute Methode, Zähler und Nenner durch den x-Term höchsten Grades im Nenner zu dividieren. Der x-Term höchsten Grades im Nenner ist der Term ersten Grades. Wir haben hier nur ein x. Wir multiplizieren jetzt also Zähler und Nenner mit (1/x), bzw. wir dividieren Zähler und Nenner durch x. Und wenn wir im Zähler und Nenner das gleiche machen, also durch denselben Wert dividieren oder mit ihm multiplizieren, dann multipliziere ich einfach nur mit 1. Also ändere ich den Wert nicht. Das macht es uns etwas einfacher, herauszufinden, was passiert, wenn x sehr stark negativ wird. 7x² geteilt durch x bzw. multipliziert mit (1/x) ergibt 7x. 2x multipliziert mit (1/x) bzw. dividiert durch x ergibt 2. Im Nenner dividieren wir 15x durch x, was 15 ergibt. Dann haben wir 5/x. -5 ⋅ 1/x = -5/x. Das ist für unsere Zwecke äquivalent zu der Gleichung, mit der wir begonnen haben, aber es ist etwas einfacher, darüber nachzudenken, was passiert, wenn x sehr, sehr, sehr stark negativ wird. Wenn x nämlich sehr, sehr, sehr stark negativ wird, wird das hier eine sehr große negative Zahl. Wenn du 2 davon subtrahierst, macht das kaum einen Unterschied. Wenn du sie durch 15 dividierst, macht es kaum einen Unterschied. Und das hier wird sehr, sehr, sehr klein. Du nimmst die 5 und teilst sie durch eine immer größer werdende negative Zahl. Das hier strebt also gegen 0. Das hier strebt gegen -∞. Wenn du 7 mit -1000000000000 oder noch größeren Minuszahlen multiplizierst, wird die Zahl hier gegen -∞ streben. Es ändert nichts, wenn du 2 davon subtrahierst. Die Zahl wird sogar noch negativer. Und es ändert nichts, dass du sie dann durch 15 dividierst, da sie trotzdem gegen -∞ strebt. Wenn du eine beliebige negative Zahl hast, und sie durch 15 dividierst, hast du immer noch eine beliebige negative Zahl. Du kannst also sagen, dass das hier gegen -∞ strebt. Es gibt noch einen anderen Lösungsansatz, den ich bei dieser Art von Aufgabe verwende. Ich frage mich, welche Terme im Zähler und Nenner dominieren werden. Was meine ich mit "dominieren"? Wenn x stark positiv oder negativ wird, kannst du es so betrachten, dass das Ausmaß von x sehr groß wird, der Absolutbetrag von x wird sehr groß. Die Terme hohen Grades steigen viel schneller an als die Terme niedrigeren Grades. Wir können also sagen, dass für große x-Werte, und mit "groß" meine ich den hohen Absolutbetrag, und wenn wir gegen -∞ streben, dann ist -∞ der hohe Absolutbetrag, f(x) also ungefähr gleich dem Term höchsten Grades im Zähler, nämlich 7x², dividiert durch den Term höchsten Grades im Nenner ist. 15x wird größer werden, die 5 hier ist eine Konstante. Wenn das hier also immer größer wird, wird das hier immer unwichtiger. f(x) ist also ungefähr gleich 7x² / 15x, was 7x / 15 ergibt. Auch hier kannst du darüber nachdenken, was passiert, wenn x hier sehr stark negativ wird. Du wirst immer größere, immer negativere Werte für f(x) bekommen. f(x) wird also gegen -∞ streben, wenn x gegen -∞ strebt. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Wir sollen die horizontale Asymptote von q finden. Die Frage lautet also im Grunde: Gegen was strebt die Funktion, wenn x gegen ∞ oder -∞ strebt? Es gibt mehrere Beispiele. Wir konzentrieren uns nicht nur auf q(x). Stell dir eine Funktion vor, die eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 2 hat. Ich zeichne die Gerade ein. Sie hat also eine solche horizontale Asymptote. Der Graph sieht ungefähr so aus. Ich zeichne noch ein paar ein, die horizontale Asymptoten haben. Sie verläuft vielleicht hier entlang, aber wenn x sehr groß wird, strebt die Funktion gegen y = 2, ohne sie jemals zu erreichen. Und das könnte sie auch auf dieser Seite, wenn x immer negativer wird. Wenn x immer negativer wird, strebt sie gegen die Gerade, ohne sie jemals zu berühren. Sie könnte auch so etwas machen. Wenn sie auch eine vertikale Asymptote hat, könnte das ungefähr so aussehen. Wo sie von unten gegen die horizontale Asymptote strebt, je negativer x wird. Und von oben, je positiver x wird. Oder umgekehrt. Das ist nur ein Einblick, was eine horizontale Asymptote ist. Sie zeigt gegen welchen Wert diese Funktion strebt, wenn x stark positiv oder negativ wird. Lass uns darüber nachdenken. Wir könnten das machen, was wir im letzten Beispiel gemacht haben. Was passiert, wenn wir all diese Terme durch den Term höchsten Grades im Nenner dividieren? Wir haben also die Funktion q(x). Der Term höchsten Grades im Nenner ist x⁹. Wir könnten also sagen, dass 6x⁵ / x⁹ = 6/x⁴ ist. Und dann haben wir -2 / x⁹. Im Nenner dividieren wir 3x² durch x⁹ und erhalten 3/x⁷. Dann haben wir noch + 1. Wenn x gegen ±∞ strebt, wird 6 durch beliebig große Zahlen dividiert, und das strebt gegen 0. Wenn 2 durch beliebig große Zahlen dividiert wird, egal, ob sie positiv oder negativ sind, dann strebt das gegen 0. Dein Nenner strebt also eindeutig gegen 0. Bei diesem Term im Nenner wird 3 durch beliebig große Zahlen dividiert, egal, ob wir in die positive oder negative Richtung gehen, er wird gegen 0 streben. Er strebt gegen 0 von der negativen Richtung bzw. von unten. wenn wir stark negative x-Werte haben. Wenn wir stark positive x-Werte haben, dann streben wir von oben gegen 0. Wir erhalten immer kleinere, positive Werte. All diese Dinge streben gegen 0, und das hier drüben bleibt 1. Wenn du also in deinem Zähler gegen 0 strebst, und in deinem Nenner gegen 1 strebst, dann strebt der ganze Term gegen 0. Im Fall von q(x) haben wir also eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 0. Ich weiß nicht genau, wie der Graph aussieht, aber wir könnten eine horizontale Gerade an der Stelle y = 0 einzeichnen, und die Funktion würde dorthin streben. Sie würde von oben oder unten dorthin streben. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Gegen was strebt f(x), wenn x gegen -∞ strebt? Wir dividieren zuerst all diese Terme durch den Term höchsten Grades im Nenner, nämlich x⁴. 3x⁴ / x⁴ = 3. -7x² / x⁴ = -7 / x². Dann haben wir -1 / x⁴. Im Nenner dividieren wir x⁴ durch x⁴ und erhalten 1, dann haben wir (-2 / x) + (3 / x⁴). Für unsere Zwecke ist diese Umformung gleichwertig, wir wollen nämlich herausfinden, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält, wenn x gegen -∞ strebt. Ich habe einfach alles durch x⁴ dividiert. Was passiert also, wenn x gegen -∞ strebt? Das strebt gegen 0. Das hier strebt gegen 0. Das hier strebt gegen 0. Und das hier strebt gegen 0. Da all diese Dinge gegen 0 streben, streben wir nur noch gegen 3 / 1, bzw. 3. Du könntest auch die Terme höchsten Grades betrachten. 3x⁴ und x⁴. Wir ignorieren alle anderen, da sie von diesen Termen höheren Grades überschattet werden. Wir könnten also sagen, dass f(x) ≈ 3x⁴ / x⁴ für sehr große x-Werte ist. Und -∞ ist immer noch ein sehr großer Absolutbetrag. Wir haben 3x⁴ / x⁴, also ist f(x) ungefähr 3 bzw. strebt gegen 3. Das ist also eine andere Art, die Aufgabe zu lösen.