Trigonometrische Gleichungen - Wiederholung (Artikel)

Übungsreihe 1: Einfache Gleichungen

Beispiel: $\sin (x) = 0, 55$ ‍ lösen

Wir benutzen den Taschenrechner und runden auf Hundertstel.

\sin^{- 1} (0, 55) = 0, 58

(Wir verwenden das Bogenmaß.)

Wir können die Identität

\sin (π - θ) = \sin (θ)

verwenden, um die zweite Lösung innerhalb von

[0, 2 π]

zu bestimmen.

π - 0, 58 = 2, 56

Wir verwenden die Identität

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

, um die beiden gefundenen Lösungen auf alle Lösungen zu erweitern.

x = 0, 58 + n \cdot 2 π

x = 2, 56 + n \cdot 2 π

Hier ist

n

eine beliebige ganze Zahl.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 1.1

Wähle einen oder mehrere Ausdrücke aus, die zusammen alle Lösungen für die Gleichung darstellen.
Die Antworten sind in Bogenmaß angegeben. $n$ ‍ ist eine beliebige ganze Zahl.

\cos (x) = 0, 15

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Übungsreihe 2: Fortgeschrittene Gleichungen

Beispiel: $16 \cos (15 x) + 8 = 2$ ‍ lösen

Zuerst isolieren wir den trigonometrischen Ausdruck:

\begin{aligned} 16 \cos (15 x) + 8 & = 2 \\ 16 \cos (15 x) & = - 6 \\ \cos (15 x) & = - 0,375 \end{aligned}

Benutze den Rechner und runde auf Tausendstel:

\cos^{- 1} (- 0,375) = 1,955

Verwende die Identität

\cos (θ) = \cos (- θ)

, um festzustellen, dass die zweite Lösung innerhalb

[- π, π]

gleich

- 1,955

ist.

Benutze die Identität

\cos (θ) = \cos (θ + 2 π)

um alle Lösungen zu unserer Gleichung mit den zwei oben ermittelten Winkeln zu bestimmen. Danach lösen wir nach

x

auf (denke daran, dass unser Argument

15 x

ist):

\begin{aligned} 15 x & = 1,955 + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{1,955 + n \cdot 2 π}{15} \\ x & = 0,130 + n \cdot \frac{2 π}{15} \end{aligned}

Vergleichbar ist die zweite Lösung:

x = - 0,130 + n \cdot \frac{2 π}{15}

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 2.1

Wähle einen oder mehrere Ausdrücke aus, die zusammen alle Lösungen für die Gleichung darstellen.
Die Antworten sind in Bogenmaß angegeben. $n$ ‍ ist eine beliebige ganze Zahl.

20 \sin (10 x) - 10 = 5

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Übungsreihe 3: Textaufgaben

Aufgabe 3.1

L (t)

stellt die Länge jedes Tages (in Minuten) in Manila, auf den Philippinen,

t

Tage nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche dar. Hier wird

t

in Bogenmaß eingegeben.

L (t) = 52 \sin (\frac{2 π}{365} t) + 728

Welcher ist der erste Tag nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche, bei dem die Tageslänge $750$ ‍ Minuten beträgt?
Runde deine endgültige Lösung auf ganze Tage.

Tage

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Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 4

Trigonometrische Gleichungen - Wiederholung

Übungsreihe 1: Einfache Gleichungen

Beispiel: $\sin (x) = 0, 55$ ‍ lösen

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Beispiel: $16 \cos (15 x) + 8 = 2$ ‍ lösen

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Beispiel: sin⁡(x)=0,55‍ lösen

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Übungsreihe 2: Fortgeschrittene Gleichungen

Beispiel: 16cos⁡(15x)+8=2‍ lösen

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