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Kurs: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Lerneinheit 3

Lektion 1: Die Mitte in Datenmengen messen

Mittelwert, Median und Modalwert - Wiederholung

Arithmetisches Mittel, Median und Modus

Arithmetisches Mittel, Median und Modus sind verschiedene Lagemaße für Mengen numerischer Werte. Sie versuchen, den Datensatz in einer einzigen Zahl zusammenzufassen, die einen "typischen" Wert des Datensatzes beschreibt.

Arithmetisches Mittel: Die "durchschnittliche" Zahl; wird berechnet, indem man alle Werte des Datensatzes addiert und durch die Anzahl an Werten teilt.

Beispiel: Das arithmetische Mittel von

4

1

, und

7

ist

(4 + 1 + 7) / 3 = 12 / 3 = 4

Median: Die mittige Zahl; wird berechnet, indem man alle Werte des Datensatzes sortiert und den Wert bestimmt, der in der Mitte steht (falls es zwei Zahlen in der Mitte gibt, nutzt man deren arithmetisches Mittel).

Beispiel: Der Median von

4

1

, und

7

ist

4

, denn wenn man die Zahlen sortiert

(1

4

7)

, steht die

4

in der Mitte.

Modus: Die häufigste Zahl — also die Zahl, die im Datensatz am häufigsten vorkommt.

Beispiel: Der Modus von

{4, 2, 4, 3, 2, 2}

ist

2

, denn sie kommt dreimal vor, und damit öfter als jede andere Zahl.

Du willst mehr über arithmetisches Mittel, Median und Modus lernen? Sieh dir die tiefer gehenden Beispiele unten, oder dieses Video zur Erklärung an.

Das arithmetische Mittel berechnen

Es gibt viele verschiedene Arten von Mittelwerten, aber wenn Leute über den "Mittelwert" reden, meinen sie üblicherweise das arithmetische Mittel.

Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte des Datensatzes dividiert durch die Anzahl an Werten.

arithmetisches Mittel = \frac{Summe der Werte}{# der Werte}

Hier ist die gleiche Formel, aber formaler aufgeschrieben:

arithmetisches Mittel = \frac{\sum x_{i}}{n}

Beispiel

Berechne das arithmetische Mittel dieser Werte:

1

2

4

5

Zuerst addieren wir die Werte:

1 + 2 + 4 + 5 = 12

Es gibt

4

Werte.

arithmetisches Mittel = \frac{12}{4} = 3

Das arithmetische Mittel ist $3$ ‍.

Übungsaufgaben

Aufgabe 4

Wie lautet das arithmetische Mittel der folgenden Zahlen?

10, 6, 4, 4, 6, 4, 1

arithmetisches Mittel =

Du willst mehr solcher Aufgaben üben? Sieh dir die Übungen in Berechnung des arithmetischen Mittels an.

Den Median bestimmen

Der Median ist der mittige Punkt in einem Datensatz — die eine Hälfte der Werte ist kleiner als der Median und die andere Hälfte ist größer.

So bestimmt man den Median:

Sortiere die Werte von klein nach groß.
Wenn eine ungerade Anzahl an Werten vorliegt, dann ist der Median der mittige Punkt in der Liste.
Wenn die Anzahl an Werten gerade ist, dann erhält man den Median, indem man das arithmetische Mittel aus den beiden mittigen Werten der Liste bildet.

Beispiel 1

Bestimme den Median dieser Werte:

1

4

2

5

0

Zuerst ordnen wir die Werte:

0

1

2

4

5

Es liegt eine ungerade Anzahl an Werten vor, also ist der Median der Punkt in der Mitte der Daten.

0

1

2

4

5

Der Median ist $2$ ‍.

Beispiel 2

Bestimme den Median dieser Werte:

10

40

20

50

Zuerst ordnen wir die Werte:

10

20

40

50

Es liegt eine gerade Anzahl an Werten vor, also ist der Median gleich dem arithmetischen Mittel der beiden mittigen Werte.

10

20

40

50

Median = \frac{20 + 40}{2} = \frac{60}{2} = 30

Der Median ist $30$ ‍.

Übungsaufgaben

Aufgabe a

Im letzten Basketball Spiel der Eisbären Bremerhaven haben die Spieler die folgenden Punktzahlen erreicht:

Sortiere die Daten von klein nach groß.

Bestimme den Median der Punktzahlen.

Punkte

Du willst mehr solcher Aufgaben üben? Sieh dir die Übungen in Berechnen des Medians an.

Bestimmung des Modus

Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert in einem Datensatz. Der Modus ist nützlich, wenn viele Werte wiederholt vorkommen. In einem Datensatz kann es keinen Modus, einen Modus oder mehrere Modi geben. Der Modus wird auch manchmal als Modalwert bezeichnet.

Beispiel 1

Frau Konnert fragt die Schüler in ihrer Klasse, wie viele Geschwister sie jeweils haben.

Finde den Modus der folgenden Werte:

0

0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

3

5

Suche den Wert, der am häufigsten auftritt:

0

0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

3

5

Der Modus lautet $1$ ‍ Geschwisterkind.

Beispiel 2

Frau Elmstein fragt die Schüler in ihrer Klasse, wie viele Geschwister sie jeweils haben.

Finde den Modus der folgenden Werte:

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

4

Suche den Wert, der am häufigsten auftritt:

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

4

Es gibt ein Unentschieden in der Bestimmung des am häufigsten vorkommenden Wertes.

Die Modi sind $1$ ‍ und $2$ ‍ Geschwisterkinder.

Übungsaufgabe

Wie lautet der Modus der folgenden Zahlen?

10, 6, 4, 4, 6, 4, 1

mode =

Du willst mehr solcher Aufgaben üben? Sieh dir die Übungen in arithmetisches Mittel, Median und Modus. an

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