Bearbeitete Beispiele: Endliche geometrische Reihen

Wir sollen die Summe der ersten 50 Terme dieser Reihe finden. Du erkennst vielleicht sofort, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. Was machen wir, wenn wir von einem Term zum nächsten gehen? Wir multiplizieren mit 10/11. Um von 1 zu 10/11 zu kommen, multiplizieren wir mit 10/11. Dann multiplizieren wir wieder mit 10/11, und machen immer so weiter. Wir wollen die ersten 50 Terme hiervon finden. Wir können also unsere Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe anwenden, und in diesem Fall erhalten wir als Ergebnis die Summe der ersten 50 Terme. Die Summe der ersten 50 Terme besteht aus unserem ersten Term, nämlich 1, also haben wir 1 ⋅ (1 - (10/11)^50), wobei 10/11 unser Quotient ist. Unser Exponent 50 ist die Anzahl unserer Terme. Und dieser Ausdruck wird durch (1 - 10/11) geteilt. Ich werde das nicht komplett ausrechnen, aber wir können etwas vereinfachen. Das ergibt (1 - (10/11)^50) / (1/11). Das können wir auch als 11⋅ (1 - (10/11)^50) schreiben. Wir könnten noch weiter vereinfachen, aber das reicht eigentlich schon. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Hier ist sehr eindeutig, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. Zuerst überlegen wir, von wie vielen Termen wir die Summe nehmen. Du denkst vielleicht, dass wir 79 Terme haben müssen, da wir 79 als Exponenten haben, aber du musst sehr vorsichtig sein, da wir bei dem ersten Term den Exponenten 0, also 0,99^0 haben. Beim zweiten Term haben wir 1 als Exponenten, beim dritten Term haben wir 2 als Exponenten, beim vierten Term haben wir 3 als Exponenten, und immer so weiter. Das hier drüben ist also der achzigste Term. Wir wollen also S_80 finden. Unser erster Term ist also 1 ⋅ (1 - unserem Quotienten^80). Ich lasse hier eine Lücke, da wir unseren Quotienten noch herausfinden müssen. Im Nenner haben wir (1 - unserem Quotienten). Du denkst vielleicht, dass der Quotient 0,99 ist, aber achte darauf, dass wir hier einen Vorzeichenwechsel haben. Wir müssen uns also fragen: Mit was müssen wir multiplizieren, um von einem Term zum nächsten zu kommen? Um vom ersten zum zweiten Term zu kommen, multiplizieren wir mit -0,99. Wir multiplizieren also mit -0,99. Um zum nächsten Term zu kommen, multiplizieren wir wieder mit -0,99. Unser Quotient ist also nicht 0,99, sondern -0,99. Im Exponenten haben wir 80, und im Nenner haben wir 1 - - 0,99. Wir können das etwas vereinfachen. Diese 1 können wir wegstreichen. Ich schreibe also 1 -, und zeichne hier kurz Klammern ein, damit deutlich wird, dass wir -0,99 mit 80 potenzieren. Wir haben einen geraden Exponenten, also haben wir ein positives Ergebnis. Das ist also dasselbe wie 0,99^80. Und im Nenner subtrahieren wir etwas Negatives, was dasselbe ist, wie das Positive davon zu addieren. Also haben wir 1,99 im Nenner. Und wir könnten noch weiter vereinfachen, mit einem Taschenrechner könnten wir einen ungefähren Wert hierfür herausfinden, da die meisten Taschenrechner keinen exakten Wert ausgeben, wenn man 80 als Exponenten hat, aber das ist das Ergebnis dieser Summe. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Hier haben wir eine rekursiv definierte Reihe. Es ist hilfreich, darüber nachzudenken, wie sie eigentlich aussieht. Der erste Term ist 10, und der zweite Term a_2 = a_1 ⋅ 9/10. Der nächste Term besteht also aus dem vorherigen Term multipliziert mit 9/10, also haben wir 10 ⋅ 9/10. Und der dritte Term ist der zweite Term multipliziert mit 9/10. Also haben wir 10 ⋅ 9/10^2. Momentan haben wir diese Reihe nicht als endliche geometrische Reihe geschrieben, was ist also unser Ergebnis, wenn wir die Summe der ersten 30 Terme nehmen? Wir nehmen S_30, also die Summe der ersten 30 Terme, und dann haben wir den ersten Term multipliziert mit (1 - (9/10^30)), und im Nenner haben wir 1 - dem Quotienten, also 9/10. 1 - 9/10 ergibt 1/10, dann dividieren wir durch 1/10, was dasselbe ist, wie mit 100 zu multiplizieren, das ist also 100 ⋅ (1 - (9/10)^30). Die Klammern sind wichtig, damit wir sehen, dass wir den gesamten Bruch 9/10 mit 30 potenzieren, und nicht nur die 9. Jetzt sind wir fertig.