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Kurs: Mathematik 1 > Lerneinheit 6
Lektion 1: Einführung in Gleichungssysteme- Gleichungssysteme: Trolle & Zölle (1 von 2)
- Gleichungssysteme: Trolle & Zölle (2 von 2)
- Eine Lösung für ein Gleichungssystem überprüfen
- Lösungen von Gleichungssystemen
- Gleichungssystem mit graphischer Darstellung: y=7/5x-5 & y=3/5x-1
- Gleichungssysteme mit graphischer Darstellung: genaue und angenäherte Lösungen
- Gleichungssystem mit Zeichnen
- Aufstellen eines Gleichungssystems aus dem Kontext - Beispiel (Haustiergewichte)
- Beispiel für die Aufstellung eines linearen Gleichungssystems (Gewicht und Preis)
- Punkte im Kontext von Graphen von Systemen interpretieren
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Punkte im Kontext von Graphen von Systemen interpretieren
Übe anhand eines Graphen eines Gleichungssystems und eines Kontextes zu interpretieren, was die verschiedenen Punkte in diesem System darstellen.
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Video-Transkript
Lauren benutzt in ihrem Café eine Mischung
aus hell- und dunkelgerösteten Bohnen. Für ihre nächste Bestellung
braucht sie insgesamt 80 kg Bohnen. Dunkelgeröstete Bohnen kosten $3 pro kg, hellgeröstete Bohnen kosten $2 pro kg, und sie will insgesamt $220 ausgeben. Der Graph zeigt ein
Gleichungssystem für dieses Szenario, bei dem x für die Anzahl dunkelgerösteter
Bohnen in kg steht, die sie kauft, und y für die Anzahl hellgerösteter
Bohnen in kg steht, die sie kauft. Schauen wir uns also den Graphen an. Bei dieser blauen Gerade steht das x für
die Anzahl dunkelgerösteter Bohnen in kg, y steht für die Anzahl
hellgerösteter Bohnen in kg, und sie will insgesamt
eine Menge von 80 kg kaufen. Das sind die Informationen aus dem Text. Sie braucht 80 kg Bohnen.
Ich unterstreiche es in blau. Diese Einschränkung, dass die Summe der
kg heller und dunkler Bohnen 80 ergibt, wird durch diese Gleichung dargestellt. Und grafisch dargestellt ergibt
es diese blaue Gerade hier. Die andere Einschränkung haben wir bei 3x, dass dunkelgeröstete
Bohnen $3 pro kg kosten, 3x ist das, was sie für
dunkle Bohnen bezahlt. 2y ist das, was sie für
helle Bohnen bezahlt, da sie $2 pro kg kosten. Und 220 ist der Gesamtbetrag,
den sie ausgibt. Und das wissen wir von hier oben. Dunkelgeröstete Bohnen kosten $3 pro kg, hellgeröstete Bohnen kosten $2 pro kg, und sie will $220 ausgeben. Diese Gleichung ist also eine andere Art, die Infos, die ich grün
unterstrichen habe, auszudrücken. Die grüne Gerade zeigt alle
Kombinationen von x und y, zu denen diese Einschränkungen
passen würden. Jetzt machen wir etwas Interessantes. Hier sind einige Punkte beschriftet:
Punkt C, D, F und E. Wir überlegen uns jetzt,
wofür jeder dieser Punkte steht. Der Punkt C liegt auf der grünen Gerade, aber über der blauen Gerade, was sagt uns das also? Wofür steht Punkt C? Pausiere das Video und denk darüber nach. Wenn wir auf der grünen Gerade sind, bedeutet das, dass die Menge,
die sie für dunkle Bohnen ausgibt, addiert mit der Menge,
die sie für helle Bohnen ausgibt, exakt $220 ergibt. Sie gibt bei C also definitiv $220 aus. Aber wie viel kg verwendet sie insgesamt? Die Tatsache, dass wir für diesen
x-Wert über der Gerade liegen, bedeutet, dass sie nicht
exakt 80 kg verwendet. Das sehen wir hier drüben. Sie verwendet ca. 10 kg dunkle, und ca. 95 kg helle Bohnen. Wenn du beide Punkte addierst, verwendet sie ungefähr 105 kg. Punkt C ist also ein Fall, in dem sie exakt $220 ausgibt, aber mehr als 80 kg benutzt, da die zweite
Einschränkung nicht berücksichtigt wird. Der Punkt ist über dieser Gerade. Wofür steht Punkt D? Pausiere das Video und finde es heraus. Da er auf der blauen Gerade liegt, bedeutet es, dass die
Einschränkung berücksichtigt wird, dass die Gesamtanzahl in kg von dunklen
und hellen Bohnen zusammen 80 kg ergibt. Hier verwendet sie also exakt 80 kg, aber wie viel Geld gibt sie aus? Da dieser Punkt unter
der grünen Gerade liegt, wissen wir, dass sie
weniger als $220 ausgibt. Wir können es sogar ausprobieren. Was ergibt 3 ⋅ 20 + 2 ⋅ 60? 60 + 120 = $180. Das ist also ein Punkt, an dem diese
Einschränkung berücksichtigt wird, diese aber nicht. Wir geben hier zu wenig aus. Was ist mit Punkt F? Punkt F liegt unter beiden Geraden. Pausiere das Video und überlege,
was das bedeutet. Wenn der Punkt unter
beiden Geraden liegt, bedeutet das, dass wir
weder $220 ausgeben, noch 80 kg verwenden. Das siehst du an den Zahlen. Du musst sie dir nicht anschauen,
aber es gibt dir ein gutes Gefühl. Sie benutzt ca. 30 kg dunkle Bohnen, und 30 kg helle Bohnen. Sie verwendet in dieser Situation
also insgesamt 60 kg und nicht 80 kg. Deshalb liegt er nicht
auf der blauen Gerade. Jetzt schauen wir uns ihre Ausgaben an. Sie kauft 30 kg jeder Sorte, also rechnen wir 3 ⋅ 30 + 2 ⋅ 30. Es ergibt 90 + 60. Das ist auch weniger als $220. Deshalb liegt dieser Punkt
unter beiden Geraden. Und wofür steht Punkt E? E liegt auf beiden Geraden, was bedeutet, dass er beide
Einschränkungen berücksichtigt. Das ist eine Situation,
in der sie exakt $220 ausgibt, und die Gesamtzahl in kg, die sie von hellen und dunklen
Bohnen verwendet, ist exakt 80. Wenn wir uns also fragen, welche Kombination von hellen
und dunklen Bohnen sie braucht, um beide Einschränkungen
zu berücksichtigen, dann steht E genau für diesen
Schnittpunkt beider Geraden.