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Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 1

Lektion 4: Drehungen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Transformationen durchführen
Drehungen
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Formen drehen

Google Classroom
Lerne wie du das Bild einer gegebenen Form nach einer Drehung um den Ursprung mit einem Vleifachen von 90° zeichnest.

Einführung

In diesem Artikel üben wir die Kunst, Formen zu drehen. Mathematisch gesprochen, lernen wir wie wir das Bild einer gegebenen Form nach einer gegebenen Drehung zu zeichnen.
Dieser Artikel konzentriert sich auf Vielfache von 90∘, sowohl positiv (im Uhrzeigersinn) und negativ (entgegen dem Uhrzeigersinn).

Teil 1: Punkte um 90∘, 180∘ und −90∘ drehen

Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe

Wir wollen das Bild A′ des Punktes A(3|4) nach einer Drehung um 90∘ um den Ursprung herausfinden.
Wir beginnen, indem wir die Aufgabe veranschaulichen. Positive Drehungen sind entgegen des Uhrzeigersinns, daher schaut unsere Drehung so aus:
Cool, wir haben A′ bildlich abgeschätzt. Aber nun müssen wir die genauen Koordinaten herausfinden. Es gibt zwei Wege dies zu tun.

Lösungsmethode 1: Der grafische Ansatz

Wir können uns ein Rechteck vorstellen das einen Eckpunkt am Ursprung und den gegenüberliegenden Eckpunkt bei A hat.
Eine Drehung um 90∘ ist wie das Rechteck auf seine Seite kippen:
Nun sehen wir, dass das Bild von A(3|4) nach der Drehung A′(−4|3) ist.
Stelle fest, dass es einfacher ist einen Punkt zu drehen, der auf den Achsen liegt und diese helfen uns das Bild von A herauszufinden:
Punkt(3/0)(0/4)(3/4)
Bild(0/3)(−4/0)(−4/3)

Lösungsmethode 2: Der algebraische Ansatz

Wir schauen uns die Punkt A und A′ genauer an:
Punktx-Koordinatey-Koordinate
A34
A′−43
Stelle ein interessantes Phänomen fest: Die x-Koordinate von A wurde zur y-Koordinate von A′ und die Gegenzahl der y-Koordinate von A wurde zur x-Koordinate von A′.
Wir können das mathematisch wie folgt darstellen:
R(0|0),90∘(x|y)=(−y|x)
Es stellt sich heraus, dass dies für jeden Punkt wahr ist, nicht nur für unser A. Hier sind ein paar weitere Beispiele:
Außerdem stellt sich heraus, dass Drehungen um 180∘ oder −90∘ ähnlichen Mustern folgen:
R(0|0),180∘(x|y)=(−x|−y)
R(0|0),−90∘(x|y)=(y|−x)
Wir können dieses benutzen um jeden Punkt zu drehen, den wir wollen indem wir seine Koordinaten in die geeignete Gleichung einsetzen.

Nun bist du an der Reihe!

Aufgabe 1

Zeichne das Bild von B(−7|−3) nach der Drehung R(0|0),−90∘.

Aufgabe 2

Zeichne das Bild von C(5|−6) nach der Drehung R(0|0),180∘.

Graphische Methode vs. algebraische Methode

Im allgemeinen steht es jedem frei zu entscheiden, welche der zwei Methoden man nutzt. Jedem Tierchen sein Pläsierchen!
Die algebraische Methode nimmt weniger Arbeit und weniger Zeit in Anspruch, aber du musst dich an diese Muster erinnern. Die graphische Methode steht dir immer zur Verfügung, es könnte aber länger mit der Lösung dauern.

Teil 2: Erweiterung auf die Vielfachen von 90∘

Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe

Wir wollen das Bild D′ des Punktes D(−5|4) nach einer Drehung um 270∘ um den Ursprung herausfinden.

Lösung

Da wir um 270∘ drehen ist es das gleiche als wenn wir dreimal um 90∘ drehen, wir können das graphisch lösen, indem wir drei aufeinanderfolgende 90∘-Drehungen durchführen:
Aber warte! Wir könnten einfach um −90∘ drehen statt um 270∘. Diese Drehungen sind äquivalent. Prüfe das:
Aus dem gleichen Grund, können wir auch das Muster R(0|0),−90∘(x|y)=(y|−x) benutzen:
R(0|0),270∘(−5|4)=(4|5)

Lernen wir anhand einer weiteren Beispielaufgabe

Wir wollen das Bild von (−9|−7) nach einer Drehung um 810∘ um den Ursprung herausfinden.

Lösung

Eine Drehung um 810∘ ist das gleiche wie zwei aufeinanderfolgende Drehungen um 360∘ gefolgt von einer Drehung um 90∘ (da 810=2⋅360+90).
Eine Drehung um 360∘ bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. In anderen Worten, es ändert sich garnichts.
Daher ist eine Drehung um 810∘ das gleiche wie eine Drehung um 90∘. Daher können wir einfach das Schema R(0|0),90∘(x|y)=(−y|x) benutzen:
R(0|0),810∘(−9|−7)=(7|−9)

Nun bist du an der Reihe!

Aufgabe 1

Zeichne das Bild von E(8|6) nach der Drehung R(0|0),−270∘.

Aufgabe 2

Welche Drehung ist äquivalent zu der Drehung R(0|0),−990∘?
Wähle eine Lösung.

Teil 3: Drehung von Polygonen

Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe

Betrachte das unten gezeichnete Viereck DEFG. Zeichnen wir sein Bild, D′E′F′G′ nach der Drehung R(0|0),270∘.

Lösung

Ähnlich zu Verschiebung, ist alles was wir tun müssen, wenn wir ein Polygon drehen, bei allen Eckpunkten die Drehung durchführen und dann können wir die Bilder der Eckpunkt verbinden um das Bild des Polygons zu erhalten.

Nun bist du an der Reihe!

Zeichne das Bild von △HIJ unten, nach der Drehung R(0|0),90∘.

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