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Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 1

Lektion 5: Spiegelungen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Transformationen durchführen
Spiegelungen
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Formen spiegeln

Google Classroom
Lerne wie du das Bild einer gegebenen Spiegelung bestimmst.
In diesem Artikel finden wir die Bilder von verschiedenen Form nach Spiegelungen heraus.

Die Spiegelungsachse

Eine Spiegelung ist eine Transformation die wie ein Spiegel wirkt: Sie tauscht alle Punktepaare, die sich an gegenüberliegenden Seiten der Spiegelungsachse befinden.
Die Spiegelungsachse kann durch eine Gleichung definiert sein oder durch zwei Punkte, durch die sie geht.

Teil 1: Punkte spiegeln

Wir untersuchen ein Beispiel für eine Spiegelung an einer horizontalen Geraden

Wir sollen das Bild A′ of A(−6|7) nach einer Spiegelung an y=4 herausfinden.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine horizontale Gerade geht durch die Vier auf der y-Achse. Ein Punkt A liegt bei minus Sechs, Sieben.

Lösung

Schritt 1: Verlängere eine senkrechte Strecke von A zur Spiegelungsgerade und miss sie.
Da die Spiegelungsgerade genau horizontal ist würde eine Senkrechte dazu genau verikal sein.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine horizontale Gerade geht durch die Vier auf der y-Achse. Ein Punkt A liegt bei minus Sechs, Sieben. Ein Strahl geht vom Punkt A drei Einheiten zur gestrichelten Gerade.
Schritt 2: Verängere die Strecke in die gleiche Richtung und mit der gleichen Länge.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine horizontale Gerade geht durch die Vier auf der y-Achse. Ein Punkt A liegt bei minus Sechs, Sieben. Ein Strahl verläuft vom Punkt A drei Einheiten zur gestrichelten Gerade. Der Strahl passiert die gestrichelte Linie und geht drei weitere Einheiten.
Lösung: A′ ist bei (−6|1).
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine horizontale Gerade geht durch die Vier auf der y-Achse. Ein Punkt A liegt bei minus Sechs, Sieben. Ein Strahl geht vom Punkt A drei Einheiten zur gestrichelten Linie. Der Strahl passiert die gestrichelte Linie, geht drei weitere Einheiten und zeigt auf das Bild des Punktes A bei minus Sechs, Eins.

Nun bist du an der Reihe!

Übungsaufgabe

Zeichne das Bild von B(7|−4) nach der Spiegelung an x=2.

Challenge Aufgabe

Was ist das Bild von (−25|−33) nach einer Spiegelung an der Gerade y=0?
(
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
|
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
)

Wir untersuchen ein Beispiel für eine Spiegelung an einer diagonalen Geraden

Wir sollen das Bild C′ of C(−2|9) nach einer Spiegelung an y=1−x herausfinden.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, Eins und Eins, Null. Ein Punkt C liegt bei minus Zwei, Neun.

Lösung

Schritt 1: Verlängere eine senkrechte Strecke von C zur Spiegelungsgerade und miss sie.
Da die Spiegelungsgerade genau durch die Diagonalen der Einheitsquadrate geht, müsste eine dazu senkrechte Gerade durch die andere Diagonale der Einheitsquadrate gehen. In anderen Worten sind die Geraden mit den Steigungen 1 und -1 immer senkrecht zueinander.
Aus Bequemlichkeitsgründen messen wir den Abstand in "Diagonalen":
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, Eins und Eins, Null. Ein Punkt C liegt bei minus Zwei, Neun. Ein Strahl verläuft vom Punkt C drei diagonale Schritte zur gestrichelten Gerade.
Schritt 2: Verängere die Strecke in die gleiche Richtung und mit der gleichen Länge.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, Eins und Eins, Null. Ein Punkt C liegt bei minus Zwei, Neun. Ein Strahl verläuft vom Punkt C drei diagonalen Schritte zur gestrichelten Gerade. Der Strahl geht durch die gestrichelte Gerade und verlängert sich um drei weitere diagonale Schritte.
Lösung: C′ is at (−8|3).
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, Eins und Eins, Null. Ein Punkt C liegt bei minus Zwei, Neun. Ein Strahl verläuft vom Punkt C drei diagonale Schritte zur gestrichelten Gerade. Der Strahl geht durch die gestrichelte Gerade und geht weitere drei diagonale Schritte, die auf den Bildpunkt C bei minus Acht, Drei zeigen.

Nun bist du an der Reihe!

Übungsaufgabe

Zeichne das Bild von D(3|−5) nach der Spiegelung an y=x+2.

Challenge Aufgabe

Was ist das Bild von (−12|12) nach einer Spiegelung an der Gerade y=x?
(
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
|
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
)

Teil 2: Polygone spiegeln

Lernen wir anhand einer Beispielaufgabe

Betrachte das unten gezeichnete Rechteck EFGH. Zeichnen wir sein Bild, E′F′G′H′, nach der Spiegelung an der Geradeu y=x−5.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, minus Fünf und Fünf, Null. Ein Rechteck mit den Punkten E, F, G und H. Der Punkt E liegt bei minus Drei, Drei, der Punkt F bei Fünf, Drei, der Punkt G bei Fünf, minus Drei. Der Punkt H liegt bei minus Drei, minus Drei.

Lösung

Wenn wir ein Polygon spiegeln, ist alles was wir tun müssen, eine Spiegelung von allen Eckpunkten durchführen (dies ist ähnlich dem was wir bei der Verschiebung oder Drehung von Polygonen gemacht haben).
Hier sind die Original-Eckpunkte und deren Bilder. Beachte, dass E, F, und H auf der anderen Seite der Spiegelungsgerade sind als G. Das gleiche gilt für deren Bilder, aber nun haben sie die Seiten getauscht!
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, minus Fünf und Fünf, null. Punkt E liegt bei minus Drei, Drei, Punkt F bei Fünf, Drei, Punkt G bei Fünf, minus Drei. Der Punkt H liegt bei minus Drei, minus Drei. Ein Strahl verläuft vom Punkt E durch die gestrichelte Gerade zum Punkt E Strich bei Acht, minus Acht. Ein Strahl verläuft vom Punkt F durch die gestrichelte Gerade zum Punkt F Strich bei Acht, Null. Ein Strahl geht vom Punkt G durch die gestrichelte Gerade zum Punkt G Strich bei Zwei, Null. Ein Strahl verläuft vom Punkt H durch die gestrichelte Gerade zum Punkt H Strich bei Zwei, minus Acht.
Nun verbinden wir einfach die Eckpunkte.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Eins skaliert. Eine gestrichelte Gerade verläuft schräg von links nach rechts durch die Null, minus Fünf und Fünf, Null. Punkt E liegt bei minus Drei, Drei, Punkt F bei Fünf, Drei, Punkt G bei Fünf, minus Drei. Der Punkt H liegt bei minus Drei, minus Drei. Ein Strahl verläuft vom Punkt E durch die gestrichelte Gerade zum Punkt E Strich bei Acht, minus Acht. Ein Strahl verläuft vom Punkt F durch die gestrichelte Gerade zum Punkt F Strich, der bei Acht, Null liegt. Ein Strahl geht vom Punkt G durch die gestrichelte Gerade zum Punkt G Strich, bei Zwei, Null. Ein Strahl geht vom Punkt H durch die gestrichelte Gerade zum Punkt H Strich bei Zwei, minus Acht. E Strich, F Strich, G Strich und H Strich bilden das Bild eines Rechtecks.

Nun bist du an der Reihe!

Aufgabe 1

Zeichne die Bilder der Strecken von IJ― und KL― nach einer Spiegelung an y=−3.

Aufgabe 2

Zeichne das Bild von △MNO nach der Spiegelung an y=−1−x.

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