Kongruenz von Dreiecken - Wiederholung

Zwei Figuren sind genau dann kongruent, wenn man die eine Figur durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Drehung oder Verschiebung) auf die andere abbilden kann. Da Kongruenzabbildungen längen- und winkeltreu sind, sind alle entsprechenden Seiten und Winkel kongruent. Das bedeutet: Ein Weg, um zu entscheiden, ob zwei Dreiecke kongruent sind, würde darin bestehen, alle Seiten und Winkel auszumessen.

Die Kongruenzsätze bieten uns einen kürzeren Weg! Mit nur $3$‍ Maßen können wir oft zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

Jedes Vieleck können wir in Dreiecke zerlegen. Zu zeigen, dass Dreiecke kongruent sind, ist somit auch ein mächtiges Werkzeug beim Umgang mit komplexeren Figuren.

Wenn zwei Paare entsprechender Seiten und ein Paar entsprechender Winkel (die nicht zwischen den Seiten liegen) kongruent sind, dann können die Dreiecke kongruent sein, sind es aber nicht immer.

Dieses Kriterium ist in der Regel nicht ausreichend, wenn die kongruenten Winkel gegenüber der kürzeren der beiden bekannten Dreiecksseiten liegen. Besonders vorsichtig müssen wir sein, wenn die Figuren möglicherweise nicht maßstabsgetreu gezeichnet sind.

Ein Dreieck hat nur $3$‍ Seiten und $3$‍ Winkel. Wenn wir $4$‍ unterschiedliche Seitenzahlen oder $4$‍ unterschiedliche Winkelmaße kennen, dann wissen wir, dass die beiden Dreiecke nicht kongruent sein können. Manchmal kennen wir Maße, weil sie in der Zeichnung angegeben sind. Ein anderes Mal verwenden wir Hilfen wie der Satz des Pythagoras oder den Satz über die Summe der Innenwinkel im Dreieck, um fehlende Maße zu berechnen.

Manchmal haben wir nicht genügend Information um zu wissen, ob die Dreiecke kongruent sind oder nicht. Wenn wir nur kongruente Winkel oder nur zwei kongruente Größen haben, können die Dreiecke kongruent sein, aber mit Sicherheit wissen wir das nicht.

Zeichnungen sind nicht immer maßstabsgetreu, und so können wir allein anhand der Zeichnung nicht erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind oder nicht. Das ist besonders wichtig, wenn wir den Seite-Seite-Winkel-Satz anzuwenden versuchen. Auch wenn die kongruenten Winkel rechte Winkel sind, die Zeichnung aber nicht maßstabsgetreu ist, wissen wir nicht genug um zu entscheiden, ob die Dreiecke kongruent sind oder nicht - egal wie sie in der Zeichnung aussehen.