Die Dreiecksungleichung

Wir wollen ein Dreieck zeichnen. Diese Seite soll die Länge 6 haben. Diese Seite hier soll die Länge 10 haben. Die Länge dieser Seite wollen wir mit x bezeichnen. Ich werde jetzt darüber nachdenken, wie groß oder klein der Wert x sein kann. Wie lang oder kurz kann diese Seite sein? Zuerst fragen wir uns, wie kurz sie werden kann. Wenn wir sie kürzer machen wollen, müssen wir uns nur diesen Winkel hier oben ansehen. Ich werde also diesen Winkel kleiner machen, und zwar so klein wie möglich. Hier haben wir die Seite der Länge 10. Ich werde es hier unten zeichnen. Also haben wir hier die Seite der Länge 10, und ich werde diesen Winkel sehr, sehr klein machen, auf Null gehend. Wird der Winkel Null, erhalten wir ein entartetes Dreieck. Es hat dann nur eine Dimension. Wir verlieren die Zweidimensionalität. Wenn wir auf Null zugehen, beginnt diese Seite sich der 10er Seite anzunähern und fällt mit ihr zusammen. Man kann sich den Fall vorstellen, dass sie übereinstimmen und die Entartung eintritt. Wenn man diesen Punkt so nah wie möglich an diesen Punkt hier heranbringen möchte, die Entfernung x also wesentlich verkleinern will, ist es am einfachsten, den Winkel gleich Null zu setzen. Ich werde den Verlauf zeichnen. Der Winkel wird kleiner. Diese Länge ist 6. X wird kleiner. Wir machen den Winkel kleiner und kleiner, bis wir ein entartetes Dreieck bekommen. Ich zeichne die rosafarbene Seite. Die Seite hat die Länge 10. Der Winkel, um den es geht, ist jetzt Null. Diese Seite hat die Länge 6. Wie groß ist die Entfernung zwischen diesem Punkt und diesem Punkt? Die Entfernung ist die Strecke x. Im entarteten Fall ist diese Strecke hier x. Wir wissen, dass 6 plus x 10 ergeben muss. Im entarteten Fall ist x also gleich 4. Wenn es ein reales Dreieck sein soll, haben bei x gleich 4 diese Punkte den kleinsten Abstand. Es ist dann in eine Gerade, einen Geradenabschnitt entartet. Soll es ein echtes Dreieck sein, muss x größer als 4 sein. Jetzt wollen wir es anders herum betrachten. Wie groß kann x werden? Um x größer und größer werden zu lassen, müssen wir diesen Winkel vergrößern. Versuchen wir es. Ich zeichne wieder die 10er Seite. Hier ist meine 10er Seite. Ich werde diesen Winkel größer und größer machen. Ich nehme nun die 6er Seite und zeichne sie so ein. Dadurch wird unser Winkel größer und größer. Er nähert sich 180° an. Bei 180° wird unser Dreieck wieder zu einem Geradensegment. Es wird wieder zu einem entarteten Dreieck. Ich zeichne jetzt die Seite der Länge x, und versuche, sie gerade zu zeichnen. Wir wollen die Entfernung zwischen diesem Punkt und diesem Punkt maximieren. Also, dies ist die Seite der Länge x, wir verfolgen jetzt den Weg zum entarteten Fall. Im entarteten Fall, bei 180°, bildet die Seite der Länge 6 eine gerade Linie mit der Seite der Länge 10. So kann man diesen Punkt und diesen Punkt am weitesten voneinander entfernen. Wie groß ist in diesem Fall die Entfernung zwischen den beiden Punkten, die unserer Strecke x entspricht? In diesem Fall ist x gleich 6 plus 10, also 16. Wenn x 16 ist, haben wir ein entartetes Dreieck. Wenn wir kein entartetes Dreieck haben wollen, wenn unser Dreieck zweidimensional sein soll, dann muss x kleiner als 16 sein. Der Lehrsatz, an dem wir hier arbeiten, wird Satz der Dreiecksungleichung genant und ist eine sehr grundlegende Idee. Jede Seite eines Dreiecks muss kleiner sein als die Summe der anderen beiden Seiten, wenn man kein entartetes Dreieck haben will. Also: Die Länge einer Seite muss kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Wenn man tatsächlich entartete Dreiecke betrachtet, die eigentlich ein Geradensegment bilden, verliert man jegliche Dimensionalität, man kommt zu einer eindimensionalen Figur - nur dann kann man von kleiner oder gleich sprechen, aber wir bleiben bei nicht entarteten Dreiecken. Die Länge einer Seite muss kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Unter Benutzung dieses Satzes erhalten wir genau das gleiche Ergebnis. Wir betrachten x als eine der Seiten. Sie muss kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Sie muss also kleiner sein als 6 plus 10, oder x ist kleiner als 16 - genau dasselbe Ergebnis, das wir auf dem anschaulichen Weg erhalten haben. Wenn man sagen möchte, wie groß x werden kann, kann man sagen, 10 muss kleiner sein als - oder besser: Wie klein kann x werden? Man kann sagen, dass 10 kleiner als 6 plus x sein muss, also kleiner als die Summe der anderen beiden Seiten. Wenn man 6 von beiden Seiten hier abzieht, erhält man: 4 kleiner als x, oder x ist größer als 4. Es handelt sich hier in gewisser Weise um ein Grundprinzip aber man wird es in der Geometrie immer wieder antreffen. Auch in anderen Bereichen der Mathematik wird man auf andere Versionen dieser grundlegenden Dreiecksungleichung treffen.