Geometrie-Textaufgabe: Erde- & und Mondradien

Die Dimensionen von Erde und Mond stehen zueinander in einer Beziehung, Die Dimensionen von Erde und Mond stehen zueinander in einer Beziehung, sie bilden ein goldenes Dreieck. Verkörpert von Phi, ist der goldene Schnitt die einzige Zahl mit einer besonderen mathematischen Eigenschaft: Wenn man sie quadriert, erhöht sich ihr Wert um 1. Bei der Khan Academy gibt es ein ganzes Video über Phi, das du dir einmal ansehen solltest. Es wird dich begeistern. Und wenn du dir das anschaust und dann dieses Problem hier löst, wirst du noch begeisterter sein. Lass uns nun versuchen das Problem hier zu lösen. Hier steht, dass Phi + 1 gleich Phi zum Quadrat ist und das ist schon mal Klasse. Hier steht auch, welchen numerischen Wert Phi genau hat. Phi ist ungefähr 1,61803 mit unendliche vielen Nachkommastellen. Addiert man 1 hinzu, erhält man 1,61803 zum Quadrat, und das ist 2,61803. Man kann es auf beide Weisen ausdrücken. Hier steht, wenn wir in der Gleichung den Satz des Pythargoras anwenden, entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Seitenlängen Phi, Phi zum Quadrat und 1. Was heißt das? Wir könnten sagen, hey, das sieht aus wie eine Gleichung, auf die man den Satz des Pythargoras anwenden kann. Wenn das hier a Quadrat ist, wenn das hier b Quadrat ist und wenn wir uns dies als c zum Quadrat vorstellen, dann kannst du dir vorstellen, dass dies das Verhältnis zwischen den Seiten eines rechtwinkelingen Dreiecks beschreibt, bei der c, die Hypotenuse, gleich Phi ist, und diese Seite, die kürzere Seite b, ist gleich 1-- das Quadrat von 1 ist gleich 1 --und die längere Seite, aber nicht die Längste, die längere von den beiden, die nicht die Hypotenuse ist, ist gleich der Quadratwurzel von Phi. Das steht alles in der ersten Zeile. Und wie unten gezeigt wird und das ist wirklich unglaublich, unten steht, das die Radien der Erde und des Mondes proportional zu Phi sind. unten steht, das die Radien der Erde und des Mondes proportional zu Phi sind. Das ist wirklich unglaublich. Ich färbe dies hier ein, damit du das besser sehen kannst. Wenn du den Erdradius nehmen würdest-- Das ist der Radius hier drüben. Ich habe Probleme, die Farben zu wechseln. Also wenn du den Erdradius nimmst und den Mondradius hinzuaddierst, dann ergibt die Summe der Radien, das Verhältnis dieser Summe zum Erdradius, Wurzel Phi. Jetzt denkst du vielleicht ein wenig über das Universum nach. Jetzt denkst du vielleicht ein wenig über das Universum nach. Du solltest das Video anhalten und darüber nachdenken. Wer denkt über solche Fragen nach? Wir sollten diese Frage auch beantworten, aber das ist ein wenig unheimlich, denn das ist nicht die einzige Stelle, wo dieses Verhältnis auftaucht. Der goldene Schnitt taucht überall in der Natur und in der Mathematik auf. Es ist einfach eine faszinierende Zahl, aus einer Vielzahl von Gründen, und das ist schon ein wenig unheimlich. Aber wie auch immer, wir müssen hier eine Aufgabe lösen. Wenn der Radius der Erde 6.371 Kilometer beträgt, was ist dann der Radius des Mondes? was ist dann der Radius des Mondes? Lass uns das Dreieck neu zeichnen und die Angaben in Kilometer umrechnen. Hier drüben stehen die Größenangaben in Erdradien. Hier drüben stehen die Größenangaben in Erdradien. Dies hier drüben ist 1 Erdradius. Wenn dies hier die Länge eines Erdradius ist, dann ist die Gesamtlänge eine Kombination der Radien von Mond und Erde, Wurzel Phi Erdradien, und die Hypothenuse dieses Dreiecks ist Phi Erdradien. Das wäre die Aufgabe ausgedrück in Erdradien, aber lass uns das Dreieck noch einmal neu zeichnen und die Angaben in Kilometern umrechnen. und die Angaben in Kilometern umrechnen. Ich versuche, es so ähnlich wie möglich zu zeichnen. Wir rechnen dies nun in Kilometer um, ich mache eine Skizze davon. Das ist die Erde hier drüben. Ich zeichne nur einen Teil der Erde. Ich zeichne das nicht alles. Ich glaube, du weißt jetzt worum es geht. Das hier drüben ist der Mond. Ich glaube, du weißt jetzt worum es geht. Hier steht, dass der Erdradius 6.371 km umfasst. Dazu haben wir auch die Höhe gegeben, die Höhe dieses rechten Dreiecks, das ist die Wurzel von Phi Erdradien. Wenn wir dies in Kilometern umrechnen, dann ist das 6.371 mal Wurzel Phi Kilometern. Wurzel Phi Erdradien. Das ist die gesamte Strecke hier drüben. Wir sollen nun den Radius des Mondes berechnen. Wir sollen also die Strecke hier drüben berechnen. Nennen wir sie "r" für Radius des Mondes. Wie können wir diese Strecke berechnen? Nun, wir kennen diese Strecke hier. Diese Strecke, ich mache sie grün, ist auch der Radius der Erde. Die Erde ist ungefähr ein Kreis. Damit können wir sagen, dass diese Strecke hier drüben ebenfalls 6.371 Kilometer beträgt. Damit ergibt sich eine einfache Lösung für dieses Problem. Es gibt zwei Wege, die Kombination der Radien zu beschreiben. Zum einen können wir sie als Radius des Mondes plus Radius der Erde ausdrücken, das sind 6.371 Kilometer. Und wir nehmen an, dass alles, was wir jetzt aufschreiben, in Kilometern ist. Und wir nehmen an, dass alles, was wir jetzt aufschreiben, in Kilometern ist. Den kombinierten Radius können wir auch als 6.371 mal Wurzel Phi aufschreiben. Nochmals: Die Kombination der Radien ist Wurzel Phi mal der Länge des Erdradius. Hier steht dies ausgedrückt in Erdradien. Hier in Kilometern. Das ist der Erdradius. Du multipliziertst dies mal Wurzel Phi, dann erhältst du den zusammengesetzten Radius. So, nun müssen wir das nur noch nach r auflösen. Wir können von beiden Seiten 6.371 abziehen, und dann erhalten wir: r = 6.371 * Wurzel Phi, - 6.371. Hier könnten wir nun 6.371 auf beiden Seiten ausklammern, Hier könnten wir nun 6.371 auf beiden Seiten ausklammern, dann wäre r gleich 6.371 * Wurzel Phi - 1. dann wäre r gleich 6.371 * Wurzel Phi - 1. Und dann sind wir fertig. Und das ist ein tolles Ergebnis.