Reihenfolge von Rechenoperationen - Wiederholung

Die Reihenfolge von Rechenoperationen sind ein Bündel von Regeln, wie Ausdrücke berechnet werden. Sie stellen sicher, dass jeder die gleiche Lösung erhält. Viele Leute erinnern sich an die Reihenfolge von Rechenoperationen KEMDAS (Klammen, Exponenten, Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion).

Die Reihenfolge der Operationen sind eine Reihe von Vereinbarungen darüber, wie Ausdrücke berechnet werden sollen. Sie stellen sicher, dass alle zum gleichen Wert kommen.

$G$ ‍ruppieren: Wir berechnen zuerst, was in den Gruppierungssymbolen steht, bevor wir etwas anderes tun. Zum Beispiel,

2 \cdot (3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8

Zwei gängige Arten von Gruppierungssymbolen sind Klammern und der Bruchstrich.

Es gibt verschiedene Gruppierungssymbole, auch wenn du vielleicht noch nicht alle gesehen hast. Hier sind einige der häufigsten.

Gemischte Zahlen haben eine eigene Gruppe. Wenn wir $3 \frac{4}{5}$ ‍ sagen, meinen wir eigentlich $(3 + 4 : 5)$ ‍.
Bruchstriche gruppieren ihren Zähler, ihren Nenner und die Operation der Division. In $25 : \frac{3 + 2}{4}$ ‍ würden wir zum Beispiel zuerst $3 + 2$ ‍ addieren und dann $5$ ‍ durch $4$ ‍ dividieren, da diese alle gruppiert sind. Schließlich würden wir $25$ ‍ durch $1, 25$ ‍ dividieren.
Exponenten können eine eigene Gruppe haben, wenn es eine Operation im Exponenten gibt. In $6^{3 + 1}$ ‍ würden wir zum Beispiel zuerst $3$ ‍ und $1$ ‍ addieren und dann $6^{4}$ ‍ berechnen.
Quadratwurzeln und andere Wurzeln gruppieren alles unter dem Wurzelsymbol. Also ist $\sqrt{9 \cdot 3}$ ‍ äquivalent zu $\sqrt{27}$ ‍, nicht zu $3 \cdot 3$ ‍.
Betragsstriche gruppieren alles, was in ihnen enthalten ist. Also ist $| 5 - 8 |$ ‍ äquivalent zu $| - 3 |$ ‍.
Funktionen sehen ein bisschen wie Multiplikation aus, weil sie Klammern haben, aber sie sind eine benannte Menge von Operationen. Also würden wir in dem Ausdruck $f (8) + 13$ ‍ die Operationen mit dem Namen $f$ ‍ ausführen, bevor wir addieren. Einige gängige Funktionsnamen sind $f$ ‍, $g$ ‍, $h$ ‍, $\sin$ ‍, $\cos$ ‍ und $\tan$ ‍.

$E$ ‍xponenten: Wir berechnen die Exponenten, bevor wir multiplizieren, dividieren, addieren oder subtrahieren. Zum Beispiel,

2 \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18

Du weißt bereits, dass die Subtraktion uns hilft, die Addition rückgängig zu machen, und die Division hilft uns, die Multiplikation rückgängig zu machen. In der Reihenfolge der Operationen findet eine Operation wie die Addition im selben Schritt statt wie ihre umgekehrte Operation, die Subtraktion.

Potenzen sind nicht kommutativ, also braucht es zwei verschiedene Operationen, um sie aufzuheben. Welche Operation wir verwenden, hängt davon ab, ob wir die Basis oder den Exponenten herausfinden wollen.

Wurzeln wie die Quadratwurzel mit dem Symbol $\sqrt{}$ ‍ helfen uns, die möglichen Basen aus einer Potenz zu bestimmen.
Logarithmen helfen uns, den Exponenten aus einer Potenz zu bestimmen.

Es ist in Ordnung, wenn diese Operationen für dich neu sind. Sobald du sie gelernt hast, solltest du daran denken, dass sie im selben Schritt wie die Operation ausgeführt werden, die sie rückgängig machen.

$M$ ‍ultiplikation und $D$ ‍ivision: Wir multiplizieren und dividieren, bevor wir addieren oder subtrahieren. Zum Beispiel,

1 + 4 : 2 = 1 + 2 = 3

$A$ ‍ddition und $S$ ‍ubtraktion: Zum Schluss addieren und subtrahieren wir.

Viele Leute merken sich die Reihenfolge der Operationen wie folgt:

G E (MD) (AS)

(ausgesprochen wie es buchstabiert wird), wobei das "G" für Gruppierung steht, das "E" für Exponenten und so weiter.

Wichtige Bemerkung: Wenn wir mehr als eine Operation gleichen Typs haben, arbeiten wir von links nach rechts. Dies kann wichtig sein, wenn eine Subtraktion oder Division auf der linken Seite deines Rechenausdrucks sind, wie

4 - 2 + 3

oder

4 : 2 * 3

(siehe Beispiel 3 unten um zu verstehen, warum dies wichtig ist).

Beispiel 1

Berechne $6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍.

Es gibt keine Klammern oder Exponenten, daher springen wir sofort zu Multiplikation und Division.

$6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍	‍
$= 6 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ ‍	Multipliziere $6$ ‍ und $4$ ‍.
$= 24 + 2 \cdot 3$ ‍	Multipliziere $2$ ‍ und $3$ ‍.
$= 24 + 6$ ‍	Addiere $24$ ‍ und $6$ ‍.
$= 30$ ‍	... und wir sind fertig!

Beachte: Wir haben auf alle Multiplikationen geachtet, bevor wir die Addition gemacht wird. Wenn wir

24 + 2

vor dem Multiplizieren

2 \cdot 3

berechnet hätten, hätten wir eine falsche Lösung erhalten.

Beispiel 2

Berechne $6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍.

$6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	‍
$= 6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	Addiere zuerst $5 + 1 + 3$ ‍ innerhalb der Klammern.
$= 6^{2} - 2 (9)$ ‍	Bestimme $6^{2}$ ‍, was $6 \cdot 6 = 36$ ‍ ist.
$= 36 - 2 (9)$ ‍	Multipliziere $2$ ‍ und $9$ ‍.
$= 36 - 18$ ‍	Subtrahiere $18$ ‍ von $36$ ‍.
$= 18$ ‍	... und wir sind fertig!

Beispiel 3

Berechne $7 - 2 + 3$ ‍.

Ein richtiger Weg, dies zu lösen, ist von links nach rechts vorzugehen.

Richtig	Falsch
$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 5 + 3 \\ = & 8 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 7 - 5 \\ = & 2 \end{aligned}$ ‍

Denke daran: Obwohl "A" vor "S" in GE(MD)(AS) kommt, heißt das nicht, dass wir addieren müssen bevor wir subtrahieren. Addition und Subtraktion haben die gleiche "Stufe" bei der Reihenfolge von Rechenoperationen. Das gleiche gilt für Multiplikation und Division.

Willst du mehr über die Reihenfolge von Rechenoperationen lernen? Schau dir dieses Video an.

Übung

Aufgabe 1

2 + 12 : 2 \cdot 3 =

Willst du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese einführende Übung und diese etwas schwierigeren Übungen an: Übung eins und Übung zwei.

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