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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 11

Lektion 1: Arithmetische Folgen
Mathematik
Algebra 2
Reihen
Arithmetische Folgen
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Explizite Formeln für arithmetische Folgen

Google Classroom
Lerne explizite Formeln für arithmetische Folgen zu bestimmen. Bestimme zum Beispiel eine explizite Formel für 3, 5, 7,...
Bevor du dir diese Lektion vornimmst, vergewissere dich dass du dich mit den Grundlagen von Formeln arithmetischer Folgen auskennst.

Wie explizite Formeln funktionieren

Hier ist eine eindeutige Formel der Folge 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
In der Formel ist n eine Termnummer und a(n) ist der n. Term.
Dies Formel erlaubt uns, einfach die Nummer des Terms einzusetzen, den wir haben wollen und wir erhalten den Wert dieses Terms.
Um den fünften Term zu ermitteln müssen wir zum Beispiel n=5 in die eindeutige Formel einsetzen.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Cool! Das ist in der Tat der fünfte Term von 3,5,7,…

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Bestimme b(10) in der Folge, die gegeben ist durch b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Eindeutige Formeln schreiben

Untersuche die arithmetische Folge 5,8,11,… Der erste Term der Folge ist 5 und die gemeinsame Differenz ist 3.
Wir können jeden Term in der Folge erhalten, indem wir den ersten Term 5 nehmen und die gemeinsame Differenz 3 wiederholt addieren. Schau dir zum Beispiel die folgende Berechnung der ersten Terme an.
nBerechnung des n. Terms
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
Die Tabelle zeigt, dass wir den n. Term erhalten (wobei n eine beliebige Termnummer ist) indem wir den ersten Term 5 nehmen und die gemeinsame Differenz 3 n−1 mal addieren. Dies kann algebraisch als 5+3(n−1) geschrieben werden.
Im allgemeinen ist dies die normale eindeutige Formel einer arithmetischen Folge, deren erster Term A ist und deren gemeinsame Differenz B ist:
A+B(n−1)

Überprüfe dein Verständnis

2) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge 2,9,16,….
d(n)=

3) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge 9,5,1,….
e(n)=

4) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist f(n)=−6+2(n−1).
Wie lautet der erste Term der Folge?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Was ist die gemeinsame Differenz?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Äquivalente explizite Formeln

Eindeutige Formeln können in vielen Formen vorkommen.
Zum Beispiel sind die folgenden alle eindeutige Formeln für die Folge 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (dies ist die Standardformel)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
Die Formel kann verschieden aussehen, das Wichtigste ist aber, dass wie einen n-Wert einsetzen können und den richtigen n. Term erhalten (versuche selbst, dass die anderen Formeln richtig sind!).
Verschiedene eindeutige Formeln, die die gleiche Folge beschreiben, werden äquivalente Formeln genannt.

Eine häufige Fehleinschätzung

Eine arithmetische Folge kann unterschiedliche äquivalente Formeln haben, es ist aber wichtig sich daran zu erinnern, dass nur die Standardform und den ersten Term und die gemeinsame Differenz angibt.
Zum Beispiel hat die Folge 2,8,14,… den ersten Term 2 und eine gemeinsame Differenz von 6.
Die eindeutige Formel 2+6(n−1) beschreibt diese Folge, aber die eindeutige Formel 2+6n beschreibt eine andere Folge.
Um die Formel 2+6(n−1) in eine äquivalente Formel der Form A+Bn umzuwandeln, können wir die Klammern ausmultiplizieren und vereinfachen:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Einige Personen dürften die Formel −4+6n gegenüber der äquivalenten Formel 2+6(n−1) vorziehen, weil sie kürzer ist. Das schöne an der längeren Formel ist, dass sie uns den ersten Term angibt.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

5) Bestimme alle richtigen eindeutigen Formeln der Folge 12,7,2,…
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Challengeaufgaben

6*) Bestimme den 124. Term der arithmetischen Folge 199,196,193,…
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

7*) Der erste Term einer arithmetischen Folge ist 5 und der zehnte Term ist 59.
Was ist die gemeinsame Differenz?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

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