Textaufgaben zu rationalen Gleichungen: Lösungen eliminieren

Zwei verschiedene Schläuche werden zum Befüllen eines Fischteiches verwendet. Zusammen brauchen die Schläuche 12 Minuten, um den Teich zu füllen. Wenn sie einzeln verwendet werden, ist ein Schlauch 10 Minuten schneller im Befüllen des Teiches als der andere. Also 10 Minuten schneller als der andere Schlauch. Wie lang braucht jeder Schlauch, um alleine den Teich zu füllen? Schauen wir uns also die Schläuche an. Wir haben einen schnelleren und einen langsameren Schlauch. Wenn der schnellere Schlauch den Teich befüllt, braucht er f Minuten pro Teich. Wie lange braucht der langsamere Schlauch? Der schnellere Schlauch braucht 10 Minuten weniger als er bzw. ist 10 Minuten schneller. Also braucht der langsame Schlauch 10 Minuten länger, also f + 10 Minuten pro Teich. Wir geben es in Minuten pro Teich an, aber wenn wir die Raten addieren wollen, sollten wir die Einheit Teiche pro Minute verwenden. Wir ändern die Einheiten also in Teiche pro Minute. Du kannst es als f Minuten pro 1 Teich oder f + 10 Minuten pro 1 Teich schreiben. Und wenn du den Kehrwert nimmst, sind diese Raten gleichwertig zu 1 Teich pro f Minuten. Es ist nicht verändert, ich nehme nur den Kehrwert. Du kannst es auch als 1/f Teiche pro Minute betrachten. Genau dasselbe gilt hier. Wir können es als 1/f + 10 Teiche pro Minute schreiben. Jetzt haben wir die Rate des schnelleren Schlauchs, und die Rate des langsameren Schlauchs. Wie viele Teiche pro Minute schafft der schnelle Schlauch? Wie viele Teiche pro Minute schafft der langsame Schlauch? Wenn wir die zwei Raten addieren, kennen wir die Teiche pro Minute, wenn beide zusammen verwendet werden. Wir nehmen also 1/f Teiche pro Minute + 1/(f + 10) Teiche pro Minute. Das ist der schnelle und das der langsame Schlauch. Das sagt uns, wie viele Teiche pro Minute sie zusammen schaffen. Wir haben diese Information. Wir wissen, dass die beiden Schläuche 12 Minuten brauchen. Ich schreibe es auf. Zusammen brauchen sie 12 Minuten pro Teich. Was ist also die kombinierte Rate in Teichen pro Minute? Du kannst das als 12 Minuten pro 1 Teich betrachten. Du könntest den Gegenwert nehmen oder das Verhältnis in Teiche pro Minute angeben, und erhältst 1/12 Teiche pro Minute. In 1 Minute füllen sie zusammen 1/12 eines Teiches. Was Sinn ergibt, da sie 12 Minuten brauchen, um ihn komplett zu füllen. In 1 Minute schaffen sie also nur 1/12 davon. Das ist ihre kombinierte Rate in Teiche pro Minute. Das ist ebenfalls ihre kombinierte Rate in Teiche pro Minute. Das ergibt also 1/12. Jetzt müssen wir nur noch nach f auflösen, und f + 10 gibt uns an, wie lang der langsame Schlauch braucht. Ich multipliziere beide Seiten dieser Gleichung mit f und mit (f + 10). Wir haben f(f + 10) und multiplizieren es aus. Wenn wir f(f + 10) ⋅ 1/f multiplizieren, dann kürzen sich diese beiden f's weg, und es bleibt nur (f + 10) übrig. Das ist das Ergebnis, wenn du diesen Term mit f(f + 10) multiplizierst. Wenn du 1/(f + 10) ⋅ f(f + 10) multiplizierst, dann kürzen sich diese beiden weg, und es bleibt nur ein f übrig. Du hast links also f + 10 + f. Ich werde gleich beide Seiten der Gleichung mit 12 multiplizieren. Aber rechts haben wir erstmal 1/12 ⋅ f², f ⋅ f = f². + 10f. Jetzt multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 12. Ich hätte es im letzten Schritt machen können, damit wir hier keine Brüche haben. Links erhalten wir 12f + 120 + 12f. Rechts kürzt sich das weg, und es bleibt f² + 10f übrig. Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Wir müssen sie nur noch in eine Form bringen, in der wir mit ihr arbeiten können. Vorher können wir sie vereinfachen. Wir haben 12f und 12f, das sind also 24f + 120. Rechts bleibt f² + 10f. Jetzt bringen wir die Terme von der linken Seite auf die rechte. Wir subtrahieren also 24f und 120 von beiden Seiten der Gleichung. Wir rechnen also -24f - 120. Links bleibt 0 übrig. Darum ging es uns. Rechts haben wir dann f², 10f - 24f = -14f, und dann -120. Jetzt können wir es in Faktoren zerlegen. Wenn du -20 und 6 multiplizierst, erhältst du -120. Und -20 + 6 = -14. Wir können die Gleichung also in 0 = f - 20(f + 6) umformen. Wenn du -20 ⋅ 6 multiplizierst, erhältst du -120. -20 + 6 = -14. Und das ergibt nur 0, wenn f - 20 gleich 0 ergibt, oder f + 6 gleich 0 ergibt. Addiere 20 zu beiden Seiten dieser Gleichung, du erhältst f = 20. Denk daran, f sagt aus, wie viele Minuten es dauert, bis der schnelle Schlauch den Teich gefüllt hat. Und hier kannst du 6 von beiden Seiten subtrahieren. Du erhältst f = -6. Wir wollen wissen, wie viele Minuten es dauert, bis der schnelle Schlauch den Teich gefüllt hat, also ist es sinnlos, zu sagen, dass es -6 Minuten dauert, den Teich zu füllen. Also können wir diese Antwort nicht verwenden. Wir brauchen eine positive Antwort. f = 20. Der schnelle Schlauch braucht also 20 Minuten, um den Teich zu füllen. Der schnelle Schlauch braucht also 20 Minuten pro Teich. Der langsame Schlauch braucht 10 Minuten länger. Also f + 10. Er braucht also 30 Minuten pro Teich. Und wir sind fertig. Ich möchte dich hiermit nicht verwirren. Der schnelle Schlauch braucht 20 Minuten. Der langsame Schlauch braucht 30 Minuten pro Teich. Zusammen brauchen sie 12 Minuten, was etwas mehr als die Hälfte ist. Wenn du zwei schnelle Schläuche hättest, würde es 10 Minuten dauern. Aber dieser Schlauch ist etwas langsamer, also brauchst du etwas mehr als 10 Minuten. Es ergibt also Sinn. Sie brauchen 12 Minuten, wenn sie zusammen verwendet werden.