Grafische Darstellung rationaler Funktionen 2

Kommen wir zu weiteren Beispielen über das Zeichnen von rationalen Funktionen. Ich habe y = (2x)/(x + 1). Zuerst wollen wir unsere horizontalen Asymptoten finden, wenn es denn welche gibt. Dafür muss ich mir nur den Term höchsten Grades im Zähler und Nenner anschauen. Im Zähler haben wir nur einen Term: 2x. Und der Term höchsten Grades im Nenner ist x. Sie sind beide Terme ersten Grades. Wir können also sagen, dass wenn x gegen ∞ strebt, x also sehr, sehr hohe Werte annimmt, diese beiden Terme dominieren werden. Das hier ist dann nicht so wichtig. Dann ist y ungefähr gleich 2x/x, was 2 ergibt. Das würde auch stimmen, wenn x gegen -∞ streben würde. Wenn x also sehr stark positiv oder negativ wird, strebt das hier gegen 2. Dieser Term ist dann eher unwichtig. Wir zeichnen jetzt also die horizontale Asymptote. Sie lautet y = 2. Wir zeichnen sie. Das hier ist unsere horizontale Asymptote: y = 2. Zu ihr strebt unser Graph, berührt sie aber nie, wenn wir immer größere postive oder negative x-Werte haben. Haben wir vertikale Asymptoten? Natürlich. Wenn x = -1 ist, dann ist diese Funktion nicht definiert. y ist also nicht definiert, wenn x = -1. Das stimmt, denn wenn x = -1 ist, wird der Nenner gleich 0. Wir wissen nicht, was 1/0 ist. Es ist nicht definiert. Und das ist ist eine vertikale Asymptote, da sich (x + 1) nicht mit etwas anderem wegkürzt. Ich gebe dir ein kurzes Beispiel. Sagen wir, ich habe die Gleichung y = (x + 1)/(x + 1). In diesem Fall würdest du sagen, dass der Graph bei x = -1 nicht definiert wäre. Und das ist richtig, denn wenn du eine -1 hier einsetzt, erhältst du unten und oben eine 0. Du erhältst 0/0. Es ist nicht definiert. Wenn du aber annimmst, dass x ≠ -1 ist, wenn du annimmst, dass diese beiden Terme nicht 0 ergeben, dann kannst du Zähler und Nenner durch (x + 1) divideren, bzw. einfach sagen, dass etwas durch sich selbst geteilt einfach nur 1 ergibt. Das hier ergibt 1, wenn x ≠ -1, oder diese beiden Terme ≠ 0 sind. Es ergibt 0/0 für x = -1, und wir wissen nicht, was das ergibt. In dieser Situation hättest du also keine vertikale Asymptote. Dieser Graph hier hat also keine vertikale Asymptote. Du fragst dich bestimmt, wie dieser Graph aussieht. Ich zeichne ihn kurz. Dieser Graph hier wäre y = 1 für alle Werte außer x = -1. Der Graph wäre also überall y = 1, außer an der Stelle y = -1. y = -1 ist nicht definiert. Wir haben dort eine Lücke. Wir zeichnen einen kleinen Kreis hierhin, weil wir nicht wissen, was y ergibt, wenn x = -1 ist. So sieht das also aus. Es sieht wie diese horizontale Gerade aus. Keine vertikale Asymptote. Das liegt daran, dass sich diese beiden Terme wegkürzen, wenn sie ≠ 0 sind, wenn x also ≠ -1 ist. Wenn du also vertikale Asymptoten identifizierst, musst du sicherstellen, dass dieser Ausdruck hier sich nicht mit etwas im Nenner wegkürzt. In diesem Fall passiert das nicht. In diesem Fall aber schon, also haben wir dort keine vertikale Asymptote. In diesem Fall kürzen sie sich nicht weg, also wird eine vertikale Asymptote definiert. x = -1 ist eine vertikale Asymptote für diesen Graphen hier. Die vertikale Asymptote x = -1 sieht so aus. Um dann herauszufinden, wie der Graph aussieht, probieren wir ein paar Werte aus. Was passiert, wenn x = 0 ist? Wenn x = 0 ist, rechnen wir (2 ⋅ 0)/(0 + 1). Das ergibt 0/1, also 0. Der Punkt (0|0) liegt also auf unserer Kurve. Was passiert, wenn x = 1 ist? Wir rechnen (2 ⋅ 1)/(1 + 1). Das ergibt 2/2, also 1. (1|1) liegt also auch auf unserer Kurve. Wir könnten weitere Punkte finden, aber die Kurve sieht ungefähr so aus. Sie strebt gegen -∞ wenn sie sich der vertikalen Asymptote von rechts nähert. Wenn du also in diese Richtung gehst, strebt sie gegen -∞. Und dann nähert sie sich unserer horizontalen Asymptote aus der negativen Richtung. Sie sieht also ungefähr so aus. Was passiert, wenn x = -2 ist? Wir rechnen (-2 ⋅ 2) im Zähler, was -4 ergibt, und im Nenner (-2 + 1), was -1 ergibt, also haben wir als Ergebnis 4. Wir haben also den Punkt (-2|4) auf unserer Kurve. Was ist mit -3? Im Zähler rechnen wir (2 ⋅ (-3)), was -6 ergibt, und im Nenner (-3 + 1), was -2 ergibt. -6/-2 = 3. Wir haben also den Punkt (-3|3). Der Graph sieht dann ungefähr so aus. Wenn wir gegen -∞ streben, nähern wir uns der horizontalen Asymptote von oben. Wenn wir gegen x = -1 streben, dann streben wir gegen +∞. Wir müssen noch bestätigen, dass dies wirklich der Graph unserer Gleichung ist. Wir benutzen unseren Taschenrechner. Wir geben y = (2x)/(x + 1) ein und lassen zeichnen. Da sehen wir es. Sieht genauso aus wie der Graph, den wir gezeichnet haben. Bei dieser vertikalen Asymptote wurden die Punkte verbunden, aber wir wissen, dass die Funktion dort nicht definiert ist. Der Rechner hat nur die sehr positiven Werte komplett verbunden. Ein Taschenrechner erstellt einfach nur eine sehr detaillierte Wertetabelle, und verbindet dann die Punkte miteinander. Er weiß also nicht, dass das hier eine Asymptote ist, also hat er die Punkte verbunden. Aber dort sollte eine Lücke sein. Ich hoffe, dieses Beispiel hat dir geholfen.